Poznámky k LVP a lineárním zobrazení

KMA LAA/3. Lineární vektorové prostory.md

@@ -43,12 +43,14 @@ Množina $M = \{\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}, \dots, \vec{v_{k}}\} \subseteq V$ gene
 Je-li generující množina prostoru V lineárně nezávislá, jedná se také o bázi prostoru V.
 - zápis: $\text{báze }A = \{\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}\}$
 
-Bázi z generující množiny zjistím tím, že vektory GM zapíšu do sloupců matice a provedu GJEM -> tím zjistím, jestli se nedá některý z vektorů vyjádřit jako LK jiného vektoru (tedy vyjde jako parametr).
+Bázi z generující množiny zjistím tím, že vektory GM zapíšu **do sloupců** matice a provedu **GJEM**, čímž zjistím, jestli se nedá některý z vektorů **vyjádřit jako LK jiného vektoru** (tedy vyjde jako **parametr**).
 
 #### Dimenze V
 
 Počet prvků báze V se nazývá **dimenze V** a značí se $dim(V)$.
 
+Dimenzi vypočítám **zjištěním báze**, kde **počet prvků báze** je roven **dimenzi V**.
+
 #### Souřadnice v bázi
 
 Jednoznačně určené koeficienty $c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n} \in \mathbb{R}$ LK $v = c_{1}\vec{b_{1}}, c_{2}\vec{b_{2}}, \dots, c_{n}\vec{b_{n}}$ se nazývají **souřadnice prvku v** v bází B.

KMA LAA/6. Lineární zobrazení.md

@@ -2,22 +2,35 @@
 
 - $U = R^4$ - před zobrazením
 - $V = R^3$ - po zobrazení
-- $L : U \to V$
+- $\mathbb{L} : U \to V$
 
 ### Ověření linearity zobrazení
 
 - zkontrolovat, že platí
-	- $L(V + V) = L(V) + L(V)$
-	- $L(k \cdot V) = k \cdot L(V)$
+	- $\mathbb{L}(V + V) = \mathbb{L}(V) + \mathbb{L}(V)$
+	- $\mathbb{L}(k \cdot V) = k \cdot \mathbb{L}(V)$
 
 ### Jádro
 
 - všechny LK vektorů před zobrazením, které se po zobrazení rovnají 0
 - zjištění přes zjištění LK
-	- $Ker \  L = \{ L(V) = 0 \}$
-- zápis: $Ker \ L = {<\vec u; \vec v>}$
+	- $Ker \space \mathbb{L} = \{ \mathbb{L}(V) = 0 \}$
+- zápis: $Ker \space \mathbb{L} = \langle \vec{u}; \vec{v} \rangle$
+
+Zapíšu zobrazení do matice, po provedení GJEM zjistím, které prvky se zobrazí na nulový vektor (tedy si vyjádřím např. $a, b, c$).
 
 ### Obraz
 
 - všechny LK vektorů po zobrazení
-- zápis: $Im \ L = {<\vec u; \vec v>}$
+- zápis: $Im \space \mathbb{L} = \langle \vec{u}; \vec{v} \rangle$
+
+Vypočítám jej opět zapsáním zobrazení do matice a provedením GJEM. Obrazem je poté LN množina vektorů (podobné jako u báze).
+
+### Prosté zobrazení
+
+Každý prvek z prostoru $U$ se zobrazí přesně na jeden prvek z prostoru $V$.
+- $dim(Ker \space \mathbb{L}) = 0$
+
+### Izomorfní zobrazení
+
+Lineární zobrazení je **izomorfizmem**, pokud je **prosté** a zároveň $dim(Im \space \mathbb{L}) = dim(V)$.