Přidání poznámek k permutacím v LAA

KMA LAA/4. Determinant matice.md

@@ -1,8 +1,88 @@
 # Determinant matice
 
+## Permutace
+
+Vzájemně jednoznačné zobrazení konečné množiny na sebe.
+
+$$
+\pi_{1} = \begin{pmatrix}
+1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
+5 & 3 & 2 & 1 & 4
+\end{pmatrix} \qquad \pi_{2} = \begin{pmatrix}
+1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
+2 & 4 & 3 & 1 & 5
+\end{pmatrix}
+$$
+
+Můžeme je skládat (stejně jako funkce):
+
+$$
+\pi_{1} \circ \pi_{2} = \begin{pmatrix}
+1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
+5 & 3 & 4 & 2 & 1
+\end{pmatrix} \qquad \pi_{2} \circ \pi_{1} = \begin{pmatrix}
+1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
+1 & 3 & 2 & 5 & 4
+\end{pmatrix}
+$$
+
+### Transpozice
+
+Permutace $\pi$, pro kterou existují $i, j$ takové, že $\pi(i) = j, \pi(j) = i$ a $\pi(k) = k$ pro všechna $k \neq i, j$.
+- v transpozici dojde pouze k **prohození dvou prvků**
+
+$$
+J_{1} = \begin{pmatrix}
+1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
+1 & 4 & 3 & 2 & 5
+\end{pmatrix} \qquad J_{2} = \begin{pmatrix}
+1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
+2 & 1 & 3 & 4 & 5
+\end{pmatrix}
+$$
+
+Každá **permutace** se dá vyjádřit jako složení **konečného počtu transpozic**.
+
+$$
+\pi_{2} = \begin{pmatrix}
+1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
+2 & 4 & 3 & 1 & 5
+\end{pmatrix} = J_{1} \circ J_{2} = \begin{pmatrix}
+1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
+1 & 4 & 3 & 2 & 5
+\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}
+1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
+2 & 1 & 3 & 4 & 5
+\end{pmatrix}
+$$
+
+Znázornění jednotlivých transpozic (směrem dolů):
+
+$$
+\downarrow \quad \begin{matrix}
+\text{začátek} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
+J_{1} & 1 & \mathbf{4} & 3 & \mathbf{2} & 5\\
+J_{2} & \mathbf{2} & 4 & 3 & \mathbf{1} & 5
+\end{matrix}
+$$
+
+Permutace je **sudá nebo lichá** podle sudého nebo lichého počtu transpozic.
+- **Znaménko permutace** $\pi$ je pak číslo
+  
+	$$
+    zn(\pi) = \begin{cases}1, \text{je-li } \pi \text{ sudá} \\ -1, \text{je-li } \pi \text{ lichá}\end{cases}
+	$$
+- Znaménko permutace vzniklé složením dvou permutací se rovná součinu znamének každé permutace.
+	- $zn(\pi_1 \circ \pi_{2}) = zn(\pi_{1}) \cdot zn(\pi_{2})$
+
 ## Determinant
 
-- **determinantem** čtvercové matice $A = [a_{ij}]$ řádu n je číslo: $\det(A) = \sum_{\pi}^{} zn(\pi)a_{1\pi(1)}a_{2\pi(2)}\dots a_{n\pi(n)}$ kde sčítáme přes všechny permutace na množině $\{1, 2, \dots, n\}$
+**Determinantem** čtvercové matice $A = [a_{ij}]$ řádu $n$ nazveme číslo
+
+$$\det(A) = \sum_{\pi}^{} zn(\pi)a_{1\pi(1)}a_{2\pi(2)}\dots a_{n\pi(n)}$$
+
+kde sčítáme přes všechny permutace na množině $\{1, 2, \dots, n\}$.
+
 - determinant je suma všech permutací vzniklých z diagonálního řádku matice, kde sudá permutace je s kladným znaménkem a lichá se záporným
 - v součinu prvků v definici determinantu je z každého řádku a z každého sloupce vybrán právě jeden prvek
 - $det(A) = det(A^{T})$
@@ -15,9 +95,9 @@
 - $i = \in {\{ 1, 2, ..., n  \}}$
 - $det(A) = a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2} + ... + a_{in}A_{in} = \sum_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}$
 - elementární úpravy:
-    - prohození dvou řádků matice
-    - vynásobení (vydělení) řádku matice nenulovým číslem
-    - přičtení $k$-násobku $i$-tého řádku k $j$-tému
+	- prohození dvou řádků matice
+	- vynásobení (vydělení) řádku matice nenulovým číslem
+	- přičtení $k$-násobku $i$-tého řádku k $j$-tému
 - pro determinanty můžeme využívat analogicky i sloupcové elementární úpravy
 
 ### Věty