Doplnění definice Taylorova polynomu v M1

KMA M1/9. Taylorův polynom.md

@@ -2,7 +2,32 @@
 
 Nahrazení nějaké složité funkce $(\sin, \cos, \ln)$ za jinou polynomickou funkci n-tého stupně, která na konkrétním okolí zjišťovaného bodu dostatečně aproximuje tu původní.
 
-Chci zjistit hodnotu $\sin(29°)$
+Mějme funkci $f$, kterou chceme aproximovat v bodě $x_{0}$. Po Taylorovu polynomu budeme požadovat, aby platila rovnost funkčních hodnot a také každé derivace až do stupně $n$.
+- $T_{n}(x_{0}) = f(x_{0})$
+- $T_{n}^{(n)}(x_{0}) = f^{(n)}(x_{0})$
+
+Taylorův polynom tedy bude vypadat následovně.
+- $T_{n}(x) = a_{0} + a_{1}(x-x_{0}) + a_{2}(x-x_{0})^2 + \dots + a_{n}(x-x_{0})^n$
+
+Platí tedy:
+$$\begin{matrix}
+f(x_{0}) = T_{n}(x_{0}) = a_{0} \\
+f'(x_{0}) = T_{n}'(x_{0}) = a_{1} \\
+f''(x_{0}) = T_{n}''(x_{0}) = 2a_{2} \\
+\vdots \\
+f^{(n)}(x_{0}) = T_{n}^{(n)}(x_{0}) = n! \, a_{n}
+\end{matrix}$$
+
+### Definice Taylorova polynomu
+
+Mějme funkci $f : D \to \mathbb{R}$, bod $x_{0} \in D$, ve kterém má funkce $f$ konečné derivace až do řádu $n \in \mathbb{N}$ včetně. **Taylorův polynom** (nejvýše) $n$-tého stupně funkce $f$ v bodě $x_{0}$ je polynom
+$$
+T_{n}(x) = f(x_{0}) + f'(x_{0})(x-x_{0}) + \dots + \frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^n.
+$$
+
+### Aproximace pomocí diferenciálů
+
+Chci zjistit hodnotu $\sin(29°)$.
 - $\displaystyle f(x) = \sin(x) \qquad x_{0}+h = \frac{29\pi}{180}$.
 
 Znám hodnotu $\sin(30°) = \frac{1}{2}$.
@@ -20,4 +45,5 @@ Vypustím chybu ($\tau$) a získám přibližnou rovnost.
 
 Získám přibližný výsledek:
 - $\displaystyle f\left( \frac{29\pi}{180} \right) \approx f'\left( \frac{\pi}{6} \right) \cdot \left( -\frac{\pi}{180} \right) + f\left( \frac{\pi}{6} \right)$
-- $\displaystyle f\left( \frac{29\pi}{180} \right) \approx \frac{\sqrt{ 3 }}{2} \cdot \left( -\frac{\pi}{180} \right) + \frac{1}{2} = \frac{180-\sqrt{ 3 }\pi}{360}$
+- $\displaystyle f\left( \frac{29\pi}{180} \right) \approx \frac{\sqrt{ 3 }}{2} \cdot \left( -\frac{\pi}{180} \right) + \frac{1}{2} = \frac{180-\sqrt{ 3 }\pi}{360}$
+