Limita funkce a spojitost

Mějme dánu funkci f : D \to \mathbb{R} a bod x_0 \in \mathbb{R}^*, který je hromadným bodem D.

Řekneme, že funkce f má limitu b \in \mathbb{R}^* v bodě x_{0}, jestliže pro každou posloupnost (x_{0}) platí $$ \left( ( \space \forall , n \in \mathbb{N} : x_{n} \in D \quad \land \quad x_{n} \neq x_{0} \space ) \quad \land \quad \lim_{ n \to \infty }{x_{n}} = x_{0} \space \right) \quad \implies \quad \lim_{ n \to \infty }{f(x_{n})} = b

a píšeme \displaystyle\lim_{ x \to \infty }{f(x)} = b.

Jednoznačnost limity

Každá funkce má v bodě nejvýše jednu limitu (limitu zprava, limitu zleva).

Pro x_{0} \in \mathbb{R} a b \in \mathbb{R}^* platí \displaystyle \lim_{ x \to x_{0} } f(x) = b právě tehdy, když \displaystyle \lim_{ x \to x_{0}^- } f(x) = \lim_{ x \to x_{0}^+ } f(x) = b.

Algebra limit

Mějme dány funkce f a g, které mají stejný definiční obor D a mají v bodě x_{0} \in \mathbb{R}^* limitu

\lim_{ x \to x_{0} } f(x) = a \in \mathbb{R}^*, \lim_{ x \to x_{0} } g(x) = b \in \mathbb{R}^*.

Potom platí

\displaystyle\lim_{ x \to x_{0} } (f(x) + g(x)) = a + b, \quad pokud je pravá strana definována,
\displaystyle\lim_{ x \to x_{0} } (f(x) \cdot g(x)) = a \cdot b, \quad pokud je pravá strana definována,
\displaystyle\lim_{ x \to x_{0} } \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{a}{b}, \quad pokud \quad\forall \, x \in D : g(x) \neq 0\quad a pokud je pravá strana definována.

Věta o sevření

Mějme dány funkce f, g, h se stejným definičním oborem D a bod x_{0} \in \mathbb{R}^*. Dále předpokládejme, že platí

\exists \, \delta > 0 \, \forall \, x \in D \, \cap \, P(x_{0}, \delta) : f(x) \leq g(x) \leq h(x),
\displaystyle \lim_{ x \to x_{0} } f(x) = \lim_{ x \to x_{0} } h(x) = b \in \mathbb{R}^*.

Věta 4.5, 4.6

Spojitost funkce

spojité funkce umíme načrtnout jedním tahem
příklad
- spojité procesy (růst člověka)
- nespojité procesy (bankovní účet)

Mějme dánu funkci f : D \to \mathbb{R}, bod x_{0} \in D, který je hromadným bodem D. Řekněme, že funkce f je

typ spojitosti	podmínka
spojitá v `x_0 \in D_f`	pokud `\displaystyle f(x_{0}) = \lim_{ x \to x_{0} } f(x)`
spojitá zprava v `x_0 \in D_f`	pokud `\displaystyle f(x_{0}) = f(x_{0}+)`
spojitá zleva v `x_0 \in D_f`	pokud `\displaystyle f(x_{0}) = f(x_{0}-)`

Pokud x_{0} \in D je izolovaným bodem D, potom funkce f je spojitá v bodě x_{0}.

Body nespojitosti

Mějme dánu funkci f : D \to \mathbb{R} a bod x_{0} \in \mathbb{R}, pro který \exists \, \delta > 0 : P(x_{0}, \delta) \subset D.

Bod x_{0} je bod nespojitosti funkce f, pokud funkce f v bodě x_{0} není spojitá.

Druhy bodů nespojitosti:

ON - odstranitelná nespojitost
- podmínka: \displaystyle f(x_{0}) \neq \lim_{ x \to x_{0} } f(x) \in \mathbb{R}
- limita zprava i zleva je stejná: f(x_{0}+) = f(x_{0}-)
- funkční hodnota v x_0 se nerovná limitě v x_0, která je vlastní
NN1D - neodstranitelné nespojitost 1. druhu
- podmínka: f(x_{0}+), f(x_{0}-) \in \mathbb{R}, ale f(x_{0}+) \neq f(x_{0}-)
- limita zprava i zleva je vlastní, ale nerovnají se
- nazývá se také skoková nespojitost se skokem s = \dots
NN2D - neodstranitelná nespojitost 2. druhu
- podmínka: neexistuje vlastní limita f(x_{0}+) nebo f(x_{0}-)
- alespoň jedna neexistuje nebo není alespoň jedna vlastní

Věta 4.7, 4.8, 4.9

Spojitost na intervalu

Mějme dánu funkci f : D \to \mathbb{R} a interval I \subset D. Řekněme, že funkce f je spojitá na intervalu I jestliže je spojitá v každém vnitřním bodě intervalu I a patří-li levý (pravý) koncový bod tohoto intervalu do I, je v něm spojitá zprava (zleva).

Cauchyho věta

Mějme dánu funkci f, která je spojitá na uzavřeném intervalu \langle a;b \rangle a pro kterou platí f(a) \cdot f(b) < 0. Potom existuje \xi \in (a;b) tak, že f(\xi) = 0.

Weierstrassova věta

Mějme dánu funkci f, která je spojitá na uzavřeném intervalu. Potom funkce f je na tomto intervalu omezená a nabývá na něm své nejmenší a největší funkční hodnoty.

Bolzanova věta

Mějme dánu funkci f, která je spojitá na uzavřeném intervalu. Potom funkce f na tomto intervalu nabývá všech mezihodnot mezi svou nejmenší a největší funkční hodnotou.

4.6 KiB Raw Blame History