2.4 KiB
2.4 KiB
Podgrafy
- mám graf G
- graf H je
- podgrafem G, pokud platí
V(H) \leq V(G), E(H) \leq E(G)
- indukovaným podgrafem G, pokud platí
V(H) \leq V(G), E(H) = E(G) \cap {V(H) \choose 2}
- faktorem G, pokud
H \leq G, V(H) = V(G)
- vlastním faktorem, pokud H je faktor G a
H \neq G
- podgrafem G, pokud platí
Souvislost grafu
- uv-sled je posloupnost vrcholů
u = u_{0}, u_{1}, u_{2}, \dots, uu_{k} = vpokud platí, žeu_{i}u_{i+1} \in E(G) \quad \forall \, 0 \leq i \leq k-1(k je délka sledu = # hran) - uv-tah - neopakují se hrany
- uv-cesta - neopakují se vrcholy
- různé pohledy na sledy:
- posloupnost hran
e_{1}, e_{2}, \dots, e_{k}- 2 sousední hrany sdílí vrchol - posloupnost vrcholů a hran
v_{1}e_{1}v_{2}e_{2}\dots v_{k}e_{k+1}-e_{i}spojuje vrcholyv_{i}v_{i+1}
- posloupnost hran
- homomorfismus cesty
- nejkratší uv-sled je uv-cestou
- Def.: G je souvislý, pokud
\foralldva vrcholy u, v existuje G uv-sled (uv-cesta) - Relace na množině vrcholů V(G)
u, v \in V(G)jsou relací u a v, pokud eixstuje v G uv-sled (sledová relace)
- vlastnosti sledové relace
- a) reflexivní - reiviální sled u nulové délky
- b) symetrická
- c) tranzitivní - složením sledů získám opět sled
- reflexivní a tranzitivní = ekvivalnce - rozklad množiny V(G) na třídy ekvivalence
- komponenta grafu G ... indukovaný podgraf na třídě ekvivalence
- maximální souvislé podgrafy (ve smyslu inkluze)
- ? jak zjistit souvislost grafu (komponenty grafu)
Kružnice v grafech
- uzavřený sled ... sled začínající a končící stejným vrcholem
- uzavřený tah ... tah začínající a končící stejným vrcholem
- kružnice ... uzavřený sled délky alespoň 3 tak, že se v něm žádný vrchol (kromě počátečního a koncového) neopakuje
- Věta: G je souvislý a e leží na nějaké kružnici
\iffG-e je souvislý
Stromy
- neorientovaný souvislý graf bez kružnic
- list stromu - vrchol stupně 1
- les - graf, jehož každá komponenta je stromem
- Tvrzení: má-li strom T alespoň dva vrcholy, pak má alespoň dva listy
- Věta: G strom
\iff\foralldva vrcholyu, v \in V(G)existuje v G právě jedna cesta - Věta: G strom
\iffG je souvislý a má n-1 hran - Věta: G strom
\iffG je souvislý a nemá žádný souvislý vlastní faktor (odmazáním lib. hrany získm nesouvislý graf)
Kostry grafu
- kostra grafu (souvislého) je libovolný faktor izomorfní se stromem
- každý souvislý graf má kostru