FAV-ZCU/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/19. Prostor kružnic neorientovaného grafu.md

Kružnice

Uzavřený sled v grafu G je sled (v_{0}, \dots, v_{k}), ve kterém platí v_{0} = v_{k}.

Uzavřený tah v grafu G je tah (v_{0}, \dots, v_{k}), ve kterém platí v_{0}= v_{k}.

Kružnice v grafu G je uzavřený sled délky alespoň 3, ve kterém se vrchol v_{0} objevuje právě dvakrát a každý ostatní vrchol grafu nejvýše jednou. Číslo k je délka dané kružnice.

Prostor kružnic grafu

• G = (V, E), \vert E\vert = m
• každému faktoru grafu G lze přiložit charakteristický vektor x \in \mathbb{Z}^m_{2}

Věta: Množina sudých faktorů (jejich char. vektorů) tvoří lineární podprostor vektorového prostoru \mathbb{Z}^m_{2}.

Prostor kružnic \mathcal C(G) neorientovaného grafu G je lineární prostor sudých faktorů (charakteristických vektorů).

• ? báze, dimenze \mathcal C(G), počet prvků \mathcal C(G) (počet sudých faktorů)

Konstrukce báze \mathcal C(G)

1. kostra grafu G ... T (lib. ale pevná)
2. systém fundamentálních kružnic
   • pro každou hranu e grafu G, která není na T vezmeme kružnici v T + e - fundamentální kružnice příslušného e vzhledem ke kostře T
   • počet fund. kružnic = m-n+1
3. \dim(\mathcal C(G)) = m-n+1 (G souvislý)

Věta: fundamentální kružnice tvoří bázi \mathcal C(G)

• \dim(\mathcal C(G)) = m-n+1 (G souvislý)
• počet prvků \mathcal C(G) = počet sudých faktorů G = počet podmnožin fundamentálních kružnic = 2^{m-n+1}