FAV-ZCU/KMA DMA/Prednaska02.md

Diferenční rovnice a jejich soustavy

homogenní diferenční rovnice - lineární

• h_n = h(n)
• h_{n} - a_{n-1}h_{n-1}-a_{n-2}h_{n-2}-\dots-a_{n-k}h_{n-k} = 0 ... řádu k
• trik: $$ \begin{matrix} h_{n-1} = h_{n-1} \ \vdots \ h_{n-k+1} = h_{n-k+1} \end{matrix}

$$ F_{n} = \begin{bmatrix} h_{n} \ h_{n-1} \ \vdots \ h_{n-k+1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{n-1} & a_{n-2} & a_{n-3} & \dots & a_{n-k} \ 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \ 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \ 0 & \dots & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} h_{n-1} \ \vdots \ h_{n-k} \end{bmatrix}

• \det(A - \lambda I) = 0 \dots \text{ char. polynom} (A je velká matice nahoře)
• \lambda^n - a_{n-1}\lambda^{n-1} - a_{n-2}\lambda^{n-2} - \dots - a_{n-k}\lambda^{n-k} = 0
• kořeny vl. č. matice ... \lambda^k - a_{n-1}\lambda^{k-1} - a_{n-2}\lambda^{k-2} - \dots - a_{n-k} = 0

1. vl. č. jsou vzájemně různá
   • \lambda_{1}, \lambda_{2}, \dots, \lambda_{k}
   • pak obecné řešení reálných rovnic h_{n} = c_{1}\lambda^n_{1} + c_{2}\lambda^n_{2} + \dots + c_{k}\lambda^n_{k}, c_{i} \in \mathbb{R}
   • příklad
     • h_{n} = 2h_{n-1} + 2h_{n-2} - 2h_{n-3} \quad (n \geq 3) počáteční podmínky h_{0} = 1, h_{1} = 2, h_{2} = 0
     • charakteristická rovnice \lambda^3 - 2\lambda^2 - \lambda + 2
     • \lambda_{1} = 1, \lambda_{2} = -1, \lambda_{3} = 2
     • obecné řešení: h_{n} = c_{1} 1^n + c_{2}(-1)^n + c_{3}2^n
     • dosadím
       • n = 0 : h_{0} = 1 = c_{1} + c_{2} + c_{3}
       • n = 1 : h_{1} = 2 = \dots
       • n = 2 : h_{2} = 0 = \dots
     • h_{n} = 2 - \frac{2}{3}(-1)^n - \frac{1}{3}2^n
2. předp. kořen \lambda_{i} má násobnost s_{i}
   • \lambda_{i}^n, n \cdot \lambda_{i}^n, \dots, n^{s_{i}-1} \cdot \lambda_{i}^n
   • c_{i_{1}}\lambda^n_{i} + c_{i_{2}}n\lambda^n_{i} + \dots + c_{i_{s_{i}}}n\lambda^n_{i} = (c_{i_{1}} + c_{i_{2}}n + \dots + c_{i_{s_{i}}}n^{s_{i}-1}) \lambda_{i}^n
   • příklad
     • h_{n} = -h_{n-1} + 3h_{n-3} + 2h_{n-4}, n \geq 4
     • poč. podmínky: h_{0} = 1, h_{1}=0, h_{2} = 1, h_{3} = 2
     • \lambda^4 + \lambda^3 - 3\lambda^2 - 5\lambda - 2 = 0 ... kořeny -1, -1, -1, 2
     • obecné řešení: h_{n} = (c_{1} + c_{2}n + c_{3}n^2) \cdot (-1)^n + c_{4}2^n
     • pro poč. podmínky:
       • h_{n} = \frac{7}{9}(-1)^n - \frac{3}{9}n(-1)^n + \frac{2}{9}2^n

Počet rozkladů n-prvkové množiny

počet prvků rozkladu k

# všech takových rozkladů (# je počet)

• S(n,k) \quad |x| = n
• k = n \quad S(n,n) = 1, S(n,1) = 1
• S(n,k) = S(n-1, k-1) + k \cdot S(n-1, k)

Stirlingova čísla (2. druhu)

Asymptotický růst fcí

• \displaystyle x \to \infty \quad \lim_{ x \to \infty } \frac{e^x}{x} = \infty
• \displaystyle x^2, x^3, \dots, x^n, \dots, \lim_{ x \to \infty } \frac{e^x}{x^n} = \infty

Bachmannovy-Landavovy-(Knothovy) symboly

• g(x) > 0
• O(g(x)) = \{ h(x) \mid \exists \, c > 0 \space \exists \, x_{0} : \forall \, x > x_{0} : 0 \leq h(x) \leq c \cdot g(x) \}
• Big-Oh
• f(x) = O(g(x))
• x^n = 0(e^x)
• e^x = O(2^x) \quad a^x = e^{x \ln a} = e^x \cdot e^{\ln a}
• n! \leq n^n \quad n! = 0(n^n)

Modulární počítání

a, b \in \mathbb{Z} \quad gcd(a,b) \quad nsd(a,b)

Eukleidův algoritmus

• a-b
• d | a \wedge d | b \implies d | (a-b)
• a = q \cdot b + r, 0 \leq r < b
• r = a-q \cdot b \qquad d | a \wedge d | b \implies d | r \qquad gcd(a,b) = gcd(b,r)
• 57 = 2 \cdot 25 + 7 \qquad gcd(57, 25) = gcd(25, 7)
• 25 = 3 \cdot 7 + 4 \qquad = gcd(7, 4) = 1
• 7 = 1 \cdot 4 + 3
• 4 = 1 \cdot 3 + 1 \qquad = gcd(57, 25)
• 1 = 4 - 1 \cdot 3
• = 4 - 1 \cdot (7 - 1 \cdot 4) = 2 \cdot 4 - 7
• = 2 \cdot (25 - 3 \cdot 7) - 7 = 2 \cdot 25 - 7 \cdot 7
• = 16 \cdot 25 - 7 \cdot 57
• \implies \exists \, \alpha, \beta \in \mathbb{R} : gcd(a,b) = \alpha \cdot a + \beta \cdot b

Věta

• Mějme a, b \in \mathbb{Z} (ne obě nulová), pak \gcd(a,b) je roven nejmenšímu kladnému číslu tvaru \alpha \cdot a + \beta \cdot b pro \alpha, \beta \in \mathbb{Z}.
• Dk: D = \alpha \cdot a + \beta \cdot b, \alpha, \beta \in \mathbb{Z} nejmenší kladné číslo na množině čísel
  1. nechť d|a a d|b, pak d|D
     • a = k \cdot d \qquad b = l \cdot d \qquad D = \alpha \cdot k \cdot d + \beta \cdot l \cdot d
  2. zbytek po dělení čísla a číslem D je nulový
     • platí a = q D + r, O \leq r < D
     • O \leq r = a - qD = a - q(\alpha \cdot a + \beta \cdot b) = (1-q\cdot\alpha)\cdot a - q \cdot \beta \cdot b
     • \implies r= 0

\mathbb{Z} množina všech celých čísel

• n \geq 2, \quad n \in \mathbb{N}
• n = 3 \quad možné zbytky 0, 1, 2
  • \mathbb{Z}_{3}(0) = \{ \dots, -3, 0, 3, \dots \}
  • \mathbb{Z}_{3}(1) = \{ \dots, -2, 1, 4, \dots \}
  • \mathbb{Z}_{3}(2) = \{ \dots, -1, 2, 5, \dots \}
• x, y \in \mathbb{Z} \quad x \equiv y \quad (mod $n$)
• x je kongurentní s y modulo n (např. 3)
• relace kongurence je ekvivalence
  • reflexivní: x \equiv x (mod n), symetrická x \equiv y (mod n) \implies y \equiv x (mod n)
  • tranzitivita: x \equiv y (mod n) \wedge y\equiv 2 (mod n) \implies x \equiv 2 (mod n)

Lemma

• x, y \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}, x \in \mathbb{Z}_{n}(i), y \in \mathbb{Z}(j), pak
  • x \cdot z \in \mathbb{Z}_{n}(i\cdot j) \qquad x \cdot y = (i + kn) \cdot (j + ln) = ij + n(kj + il) + kln^2
  • x + y \in \mathbb{Z}_{n}(i+j) \qquad x + y = i + j + n(k + l)
• Dk: x = i + kn, y = j + ln

n \in \mathbb{N} \quad \mathbb{Z}_{n} = \{ \mathbb{Z}_{n}(0), \mathbb{Z}_{n}(1), \dots, \mathbb{Z}_{n}(n-1) \}

• (\mathbb{Z}_{n}, +, \times)
  • \mathbb{Z}_{n}(i) + \mathbb{Z}_{n}(j) = \mathbb{Z}_{n}(i + j)
  • \mathbb{Z}_{n}(i) \times \mathbb{Z}_{n}(j) = \mathbb{Z}_{n}(ij)
• \mathbb{Z}_{4}(3) \to 3
• \mathbb{Z}_{4}(3) + \mathbb{Z}_{4}(2) = \mathbb{Z}_{4}(1) \to 3 + 2 \to 3 + 2 \mod 4 = 1

n = 3

+	0	1	2
0	0	1	2
1	1	2	0
2	2	0	1

\cdot	0	1	2
0	0	0	0
1	0	1	2
2	0	2	1

• aritmetika modulo n
• inverzní prvek a \neq 0 \quad a \cdot a^{-1} = 1
  • 1^{-1} = 1
  • 2^{-1} = 2

opačný prvek $\qquad a + (-a) = 0 \qquad (-1) + 1 = 0$ nulový prvek 0 \qquad -1 = 2 \quad -2 = 1

\mathbb{Z}_{3} vždy existuje inverzní prvek \forall \, x \in \mathbb{Z}_{3}, x \neq 0