FAV-ZCU/KFY FYI1/Priklad03.md

Zadání

Zjistěte, jak se pohybuje bodové těleso ve stacionárním homogenním silovém poli (takovým polem může být gravitační nebo elektrostatické pole v určité oblasti prostoru).

• stacionární ($\vec F \neq \vec F(t)$)
  • velikost ani směr síly nezávisí na čase
• homogenní ($\vec F \neq \vec F(\vec n)$)
  • nezávisí na polohovém vektoru
  • velikost a směr síly všude stejné
• předpoklad - m = \text{konst.}
  • II. Newtonův zákon (pohybové rovnice)

\vec F = m \cdot \vec a = m \cdot \frac{d\vec v}{dt}

• d\vec v = \frac{F}{m} \cdot dt \quad \text{/integrace}
• \displaystyle \int^{\vec v}_{\vec v_{0}} d\vec v = \int^{t}_{0} \frac{\vec F}{m} \, dt = \frac{\vec F}{m} \int^t_{0} dt

• \vec F = [0, F, 0]
• v_{0} = [v_{0x}, v_{0y}, 0]

• \displaystyle \left[\vec v\right]^{\vec v}_{\vec v_{0}} = \frac{\vec F}{m}\left[t\right]^t_{0}
• \vec v - \vec v_{0} = \frac{\vec F}{m}(t-0)
• \vec v = [v_{x}, v_{y}, 0] = \frac{\vec F}{m}t + \vec v_{o}
  • pohyb probíhá v rovině dané vektory \vec F a \vec v_{0}

• v_{x} = \frac{0}{m} \cdot t + v_{0x}
• v_{x} = v_{0x}
• přímočarý rovnoměrný pohyb

• v_{y} = \frac{F}{m} \cdot t + v_{0y}
• přímočarý rovnoměrně zrychlený pohyb

Výpočet

\vec v = \left[ -\frac{m}{F} \cdot v_{ox}v_{oy}; -\frac{m}{2F} \cdot v_{oy}^2\right]

• v_{x} = \frac{dx}{dt} \implies x = \int v_{x} \, dt = \int v_{0x} \, dt = v_{0x} \cdot t + x_{0}
  • x = v_{0x} \cdot t + x_{0}
• v_{y} = \frac{dy}{dt} \implies y = \int v_{y} \, dt = \int \frac{F}{m} \cdot t + v_{0y} \, dt = \frac{F}{2m} \cdot \frac{t^2}{2} + v_{0y} \cdot t + y_{0}
  • y = \frac{F}{2m} \cdot t^2 + v_{0y} \cdot t + y_{0}

Výsledky

• pro t = 0 \implies x_{0} = y_{0} = 0
  • \displaystyle x = v_{0x} \cdot t \to t = \frac{x}{v_{0x}}
  • \displaystyle y = \frac{F}{2m}\left( \frac{x}{v_{0x}} \right)^2 + v_{0y} \cdot \left( \frac{x}{v_{0x}} \right) = \frac{F}{2m \cdot v_{0x}^2} \cdot x^2 + \frac{v_{0y}}{v_{0x}} \cdot x
    • výsledek: rovnice paraboly

• hledáme extrém (vrchol) paraboly
• \displaystyle \frac{dy}{dx} |_{x = x_{v}} = 0
  • x_{v} - x-ová souřadnice vrcholu

\displaystyle\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dt}\left[ \frac{F}{2m\cdot v^2_{0x}} \cdot x^2 + \frac{v_{0y}}{v_{0x}} \cdot x \right] = \frac{F}{\cancel{2}m \cdot v^2_{0x}} \cdot \cancel{2} x_{v} + \frac{v_{0y}}{v_{0x}} \cdot 1 = 0

\displaystyle \frac{F}{m \cdot v^{\cancel{2}}_{0x}} \cdot \cancel{2} x_{v} = -\frac{v_{0y}}{\cancel{v_{0x}}}

• \displaystyle x_{v} = -\frac{m}{F} \cdot v_{0x} \cdot v_{0y}
• \displaystyle y_{v} = \frac{F}{2m \cdot v_{0x}^2} \cdot x_{v}^2 + \frac{v_{0y}}{v_{0x}} \cdot x_{v} = \dots = -\frac{m}{2F} \cdot v_{0y}^2