Incidenční matice

Pro neorientovaný graf

Definice: Nechť G je neorientovaný graf s vrcholy V = \{v_{1}, \dots, v_{n}\} a hranami E = \{e_{1}, \dots, e_{m}\}. Matice M(G) typu n/m definovaná předpisem

m_{i,j} = \begin{cases} 1, \text{ jestliže } v_{i} \in e_{j}, \\ 0 \text{ jinak} \end{cases}

se nazývá vrcholově-hranová incidenční matice grafu G.

Pro orientovaný graf

Definice: Nechť \vec{G} je orientovaný graf s vrcholy V = \{v_{1}, \dots, v_{n}\} a hranami E = \{e_{1}, \dots, e_{m}\}. Předpokládáme, že graf \vec{G} neobsahuje smyčky (hrany $x, x$). Matice M(\vec{G}) typu n/m definovaná předpisem

m_{i,j} = \begin{cases} 1 \rule{1cm}{0pt} \text{pokud hrana } e_{j} \text{ začíná ve vrcholu } v_{i}\\-1 \rule{.6cm}{0pt} \text{pokud hrana } e_{j} \text{ končí ve vrcholu } v_{i}\\0 \rule{.85cm}{0pt} \text{ jinak (} e_{j} \text{ nekoliduje s } v_{i}\text{)} \end{cases}

se nazývá vrcholově-hranová incidenční matice orientovaného grafu \vec{G}.

n-tý řádek je n-tý vrchol a jednotlivé sloupce určují začátek ($+1$) nebo konec ($-1$) hrany v tomto vrcholu

Vlastnosti

Tvrzení: Množina l řádků matice M(\vec{G}), l \leq n, je lineárně závislá právě tehdy, když existuje její neprázdná podmnožina mající nulový součet.

Věta: Je-li \vec{G} slabě souvislý graf bez smyček, pak \text{hod}(M(\vec{G})) = n-1.

V každém sloupci matice M(\vec{G}) je právě jeden prvek +1 a jeden prvek -1 \implies součtem všech řádků matice M(\vec{G}) dostaneme nulový řádek.
Tedy řádky jsou LZ a \text{hod}(M(\vec{G})) < n.

Důsledek: Je-li graf \vec{G} bez smyček s k komponentami (v jeho symetrizaci), potom \text{hod}(M(\vec{G})) = n-k.

Redukovaná incidenční matice

Matici M_{R}(\vec{G}) vzniklou z matice M(\vec{G}) vypuštěním posledního řádku se nazývá redukovaná incidenční matice orientovaného grafu \vec{G}.

Totální unimodularita

Definice: Matice A je totálně unimodulární, pokud determinant libovolné čtvercové podmatice je 0, +1, -1, tedy matice A má pouze prvky 0, \pm1.

Věta: Incidenční matice M(\vec{G}) orientovaného grafu \vec{G} je totálně unimodulární.

2.3 KiB Raw Blame History