Úprava 16. a 19. otázky a přidání 20. a 22. otázky z DMA

KMA DMA/Otázky ke zkoušce/16. Souvislost neorientovaného grafu.md

@@ -29,15 +29,6 @@ Graf $G$ je **souvislý**, pokud pro každé dva vrcholy $x, y$ existuje v grafu
 
 Zjištění souvislosti grafu (komponenty grafu)
 - lze využít Dijkstrův algoritmus
-
-## Kružnice
-
-**Uzavřený sled** v grafu $G$ je sled $(v_{0}, \dots, v_{k})$, ve kterém platí $v_{0} = v_{k}$.
-
-**Uzavřený tah** v grafu $G$ je tah $(v_{0}, \dots, v_{k})$, ve kterém platí $v_{0}= v_{k}$.
-
-**Kružnice** v grafu $G$ je uzavřený sled délky alespoň 3, ve kterém se vrchol $v_{0}$ objevuje právě dvakrát a každý ostatní vrchol grafu nejvýše jednou. Číslo $k$ je délka dané kružnice.
-
 ## Vlastnosti
 
 V každém souvislém grafu $G$ řádu $n \geq 2$ existují alespoň dva vrcholy $x, y$ takové, že $G-x$ i $G-y$ jsou souvislé.

KMA DMA/Otázky ke zkoušce/19. Prostor kružnic neorientovaného grafu.md

@@ -0,0 +1,7 @@
+# Kružnice
+
+**Uzavřený sled** v grafu $G$ je sled $(v_{0}, \dots, v_{k})$, ve kterém platí $v_{0} = v_{k}$.
+
+**Uzavřený tah** v grafu $G$ je tah $(v_{0}, \dots, v_{k})$, ve kterém platí $v_{0}= v_{k}$.
+
+**Kružnice** v grafu $G$ je uzavřený sled délky alespoň 3, ve kterém se vrchol $v_{0}$ objevuje právě dvakrát a každý ostatní vrchol grafu nejvýše jednou. Číslo $k$ je délka dané kružnice.

KMA DMA/Otázky ke zkoušce/20. Incidenční matice grafu, totální unimodularita.md

@@ -1,11 +1,38 @@
 # Incidenční matice
 
-Nechť $G$ je orientovaný graf s vrcholy $V = \{v_{1}, \dots, v_{n}\}$ a hranami $E = \{e_{1}, \dots, e_{m}\}$. Předpokládáme, že graf $G$ neobsahuje smyčky.
+## Pro neorientovaný graf
 
-**Incidenční matice** $M(G)$ orientovaného grafu $G$ je reálná matice o rozměrech $n\times m$, definovaná vztahem $M(G) = (m_{ij})$, kde:
+**Definice**: Nechť $G$ je **neorientovaný graf** s vrcholy $V = \{v_{1}, \dots, v_{n}\}$ a hranami $E = \{e_{1}, \dots, e_{m}\}$. Matice $M(G)$ typu $n/m$ definovaná předpisem
 
-$m_{ij} \begin{cases} 1 \quad \text{pokud hrana } e_{j} \text{ začíná ve vrcholu } v_{i}\\-1 \quad \text{pokud hrana } e_{j} \text{ končí ve vrcholu } v_{i}\\0 \quad \text{ jinak (} e_{j} \text{ nekoliduje s } v_{i}\text{)} \end{cases}$
+$m_{i,j} = \begin{cases} 1, \text{ jestliže } v_{i} \in e_{j}, \\ 0 \text{ jinak} \end{cases}$
 
+se nazývá **vrcholově-hranová incidenční matice** grafu $G$.
 
+## Pro orientovaný graf
 
-# Totální unimodularita
+**Definice**: Nechť $\vec{G}$ je **orientovaný graf** s vrcholy $V = \{v_{1}, \dots, v_{n}\}$ a hranami $E = \{e_{1}, \dots, e_{m}\}$. Předpokládáme, že graf $\vec{G}$ **neobsahuje smyčky** (hrany $x, x$). Matice $M(\vec{G})$ typu $n/m$ definovaná předpisem
+
+$m_{i,j} = \begin{cases} 1 \rule{1cm}{0pt} \text{pokud hrana } e_{j} \text{ začíná ve vrcholu } v_{i}\\-1 \rule{.6cm}{0pt} \text{pokud hrana } e_{j} \text{ končí ve vrcholu } v_{i}\\0 \rule{.85cm}{0pt} \text{ jinak (} e_{j} \text{ nekoliduje s } v_{i}\text{)} \end{cases}$
+
+se nazývá **vrcholově-hranová incidenční matice** orientovaného grafu $\vec{G}$.
+- n-tý řádek je n-tý vrchol a jednotlivé sloupce určují začátek ($+1$) nebo konec ($-1$) hrany v tomto vrcholu
+
+### Vlastnosti
+
+**Tvrzení**: Množina $l$ řádků matice $M(\vec{G}), l \leq n$, je lineárně závislá právě tehdy, když existuje její neprázdná podmnožina mající nulový součet.
+
+**Věta**: Je-li $\vec{G}$ slabě souvislý graf bez smyček, pak $\text{hod}(M(\vec{G})) = n-1$.
+- V každém sloupci matice $M(\vec{G})$ je právě **jeden prvek +1** a **jeden prvek -1** $\implies$ součtem všech řádků matice $M(\vec{G})$ dostaneme nulový řádek.
+- Tedy řádky jsou LZ a $\text{hod}(M(\vec{G})) < n$.
+
+**Důsledek**: Je-li graf $\vec{G}$ bez smyček s $k$ komponentami (v jeho symetrizaci), potom $\text{hod}(M(\vec{G})) = n-k$.
+
+### Redukovaná incidenční matice
+
+Matici $M_{R}(\vec{G})$ vzniklou z matice $M(\vec{G})$ vypuštěním posledního řádku se nazývá **redukovaná incidenční matice orientovaného grafu** $\vec{G}$.
+
+# Totální unimodularita
+
+**Definice**: Matice $A$ je totálně unimodulární, pokud determinant libovolné čtvercové podmatice je $0, +1, -1$, tedy matice $A$ má pouze prvky $0, \pm1$.
+
+**Věta**: Incidenční matice $M(\vec{G})$ orientovaného grafu $\vec{G}$ je totálně unimodulární.

KMA DMA/Otázky ke zkoušce/22. Matice sousednosti a počty sledů.md

@@ -0,0 +1,19 @@
+# Matice sousednosti
+
+**Maticí sousednosti** orientovaného grafu $\vec{G}$ (připouštíme i smyčky) nazveme čtvercovou matici $A(\vec{G}) = (a_{ij})$ řádu $n$, definovanou předpisem
+
+$a_{i,j} = \begin{cases} 1, \rule{.8cm}{0pt} \text{pokud v } \vec{G} \text{ existuje hrana } (i, j), \\ 0 \rule{1cm}{0pt} \text{jinak}. \end{cases}$
+
+Pro neorientovaný graf $G$ definujeme matici sousednosti $A(G)$ jako matici sousednosti **jeho symetrické orientace**. (obecně $A(\vec{G})$ není symetrická)
+
+- hodnota 1 na $i$-tém řádku a $j$-tém sloupci značí hranu z vrcholu $v_{i}$ do $v_{j}$
+
+# Počty sledů
+
+Nechť $\vec{G}$ je orientovaný graf a $A(\vec{G}) = (a_{ij})$ je jeho matice sousednosti.
+- Graf $\vec{G}$ má $n$ vrcholů a matice $A(\vec{G})$ má řád $n$.
+- Prvek $(a^{(k)}_{ij})$ matice $A^k(\vec{G})$ je roven počtu orientovaných sledů délky $k \geq 0$ z vrcholu $v_{i}$ do vrcholu $v_{j}$ v grafu $\vec{G}$.
+	- Matice sousednosti $A^0(\vec{G})$ bude rovna jednotkové matici řádu $n$.
+	- Matici $A^k(\vec{G})$ získám násobením matic sousedností $k$-krát (matice na $k$-átou).
+
+