FAV-ZCU/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/16. Souvislost neorientovaného grafu.md

Souvislost neorientovaného grafu

Graf G je souvislý, pokud pro každé dva vrcholy x, y existuje v grafu G cesta z x do y. V opačném případě je graf G nesouvislý.

Sled, cesta, tah

Sled (z vrcholu u do vrcholu $v$) v grafu G je libovolná posloupnost ($u = v_{0}, v_{1}, \dots, v_{k} = v$), kde v_{i} jsou vrcholy grafu G a pro každé i = 1, \dots, k je v_{i-1}v_{i} hranou grafu G. Číslo k je délka tohoto sledu. Říkáme, že sled prochází vrcholy v_{0}, \dots, v_{k} nebo že na něm tyto vrcholy leží.

• Sled může procházet vícekrát stejným vrcholem i stejnou hranou.

Cesta z u do v v grafu G je sled (u = v_{0}, v_{1}, \dots, v_{k} = v), ve kterém se každý vrchol v_{i} objevuje pouze jednou.

Tah z u do v v grafu G je sled (u = v_{0}, v_{1}, \dots, v_{k} = v), ve kterém se každá hrana objevuje pouze jednou.

Relace na množině vrcholů V(G)

• Relace \sim s předpisem u \sim v, pokud v grafu G existuje sled (sledová relace).
• vlastnosti sledové relace
  • a) reflexivní - triviální sled nulové délky (u)
  • b) symetrická
  • c) tranzitivní - složením sledů získáme opět sled
    • reflexivní a tranzitivní = ekvivalence - rozklad množiny V(G) na třídy ekvivalence

Komponenta grafu

Komponenty grafu G jsou všechny indukované podgrafy grafu G na jednotlivých třídách ekvivalence \sim.

• značí se K
• K je maximální souvislý podgraf grafu G
  • nejde jej rozšířit o další vrchol, nemá-li ztratit souvislost

Zjištění souvislosti grafu (komponenty grafu)

• lze využít Dijkstrův algoritmus

Vlastnosti

V každém souvislém grafu G řádu n \geq 2 existují alespoň dva vrcholy x, y takové, že G-x i G-y jsou souvislé.

• Souvislý graf vždy obsahuje vrchol, jehož odstraněním graf neztratí souvislost.

Důkaz

• Graf G je souvislý, tedy v něm existuje nějaká cesta. Vybereme nejdelší cestu v G a označíme ji P a její vrcholy u, v.
• Kdyby G-u nebyl souvislý, existoval by další soused vrcholu u, například z.
• Poté by byla cesta z, u, \dots, v byla delší než cesta P, proto je G-u souvislý.

Je-li graf G souvislý, potom m \geq n-1.

• Počet hran v souvislém grafu je \geq počtu vrcholů - 1.
• V souvislém grafu musí být cesta dlouhá n, na což je potřeba n-1 hran.

Pokud n \geq 2, pak v grafu G existuje u, v \in V(G) tak, že G-u a G-v jsou souvislé.