Úprava 16. a 19. otázky a přidání 20. a 22. otázky z DMA
This commit is contained in:
parent
191e5afdea
commit
41a46b6401
|
@ -29,15 +29,6 @@ Graf $G$ je **souvislý**, pokud pro každé dva vrcholy $x, y$ existuje v grafu
|
||||||
|
|
||||||
Zjištění souvislosti grafu (komponenty grafu)
|
Zjištění souvislosti grafu (komponenty grafu)
|
||||||
- lze využít Dijkstrův algoritmus
|
- lze využít Dijkstrův algoritmus
|
||||||
|
|
||||||
## Kružnice
|
|
||||||
|
|
||||||
**Uzavřený sled** v grafu $G$ je sled $(v_{0}, \dots, v_{k})$, ve kterém platí $v_{0} = v_{k}$.
|
|
||||||
|
|
||||||
**Uzavřený tah** v grafu $G$ je tah $(v_{0}, \dots, v_{k})$, ve kterém platí $v_{0}= v_{k}$.
|
|
||||||
|
|
||||||
**Kružnice** v grafu $G$ je uzavřený sled délky alespoň 3, ve kterém se vrchol $v_{0}$ objevuje právě dvakrát a každý ostatní vrchol grafu nejvýše jednou. Číslo $k$ je délka dané kružnice.
|
|
||||||
|
|
||||||
## Vlastnosti
|
## Vlastnosti
|
||||||
|
|
||||||
V každém souvislém grafu $G$ řádu $n \geq 2$ existují alespoň dva vrcholy $x, y$ takové, že $G-x$ i $G-y$ jsou souvislé.
|
V každém souvislém grafu $G$ řádu $n \geq 2$ existují alespoň dva vrcholy $x, y$ takové, že $G-x$ i $G-y$ jsou souvislé.
|
||||||
|
|
|
@ -0,0 +1,7 @@
|
||||||
|
# Kružnice
|
||||||
|
|
||||||
|
**Uzavřený sled** v grafu $G$ je sled $(v_{0}, \dots, v_{k})$, ve kterém platí $v_{0} = v_{k}$.
|
||||||
|
|
||||||
|
**Uzavřený tah** v grafu $G$ je tah $(v_{0}, \dots, v_{k})$, ve kterém platí $v_{0}= v_{k}$.
|
||||||
|
|
||||||
|
**Kružnice** v grafu $G$ je uzavřený sled délky alespoň 3, ve kterém se vrchol $v_{0}$ objevuje právě dvakrát a každý ostatní vrchol grafu nejvýše jednou. Číslo $k$ je délka dané kružnice.
|
|
@ -1,11 +1,38 @@
|
||||||
# Incidenční matice
|
# Incidenční matice
|
||||||
|
|
||||||
Nechť $G$ je orientovaný graf s vrcholy $V = \{v_{1}, \dots, v_{n}\}$ a hranami $E = \{e_{1}, \dots, e_{m}\}$. Předpokládáme, že graf $G$ neobsahuje smyčky.
|
## Pro neorientovaný graf
|
||||||
|
|
||||||
**Incidenční matice** $M(G)$ orientovaného grafu $G$ je reálná matice o rozměrech $n\times m$, definovaná vztahem $M(G) = (m_{ij})$, kde:
|
**Definice**: Nechť $G$ je **neorientovaný graf** s vrcholy $V = \{v_{1}, \dots, v_{n}\}$ a hranami $E = \{e_{1}, \dots, e_{m}\}$. Matice $M(G)$ typu $n/m$ definovaná předpisem
|
||||||
|
|
||||||
$m_{ij} \begin{cases} 1 \quad \text{pokud hrana } e_{j} \text{ začíná ve vrcholu } v_{i}\\-1 \quad \text{pokud hrana } e_{j} \text{ končí ve vrcholu } v_{i}\\0 \quad \text{ jinak (} e_{j} \text{ nekoliduje s } v_{i}\text{)} \end{cases}$
|
$m_{i,j} = \begin{cases} 1, \text{ jestliže } v_{i} \in e_{j}, \\ 0 \text{ jinak} \end{cases}$
|
||||||
|
|
||||||
|
se nazývá **vrcholově-hranová incidenční matice** grafu $G$.
|
||||||
|
|
||||||
|
## Pro orientovaný graf
|
||||||
|
|
||||||
# Totální unimodularita
|
**Definice**: Nechť $\vec{G}$ je **orientovaný graf** s vrcholy $V = \{v_{1}, \dots, v_{n}\}$ a hranami $E = \{e_{1}, \dots, e_{m}\}$. Předpokládáme, že graf $\vec{G}$ **neobsahuje smyčky** (hrany $x, x$). Matice $M(\vec{G})$ typu $n/m$ definovaná předpisem
|
||||||
|
|
||||||
|
$m_{i,j} = \begin{cases} 1 \rule{1cm}{0pt} \text{pokud hrana } e_{j} \text{ začíná ve vrcholu } v_{i}\\-1 \rule{.6cm}{0pt} \text{pokud hrana } e_{j} \text{ končí ve vrcholu } v_{i}\\0 \rule{.85cm}{0pt} \text{ jinak (} e_{j} \text{ nekoliduje s } v_{i}\text{)} \end{cases}$
|
||||||
|
|
||||||
|
se nazývá **vrcholově-hranová incidenční matice** orientovaného grafu $\vec{G}$.
|
||||||
|
- n-tý řádek je n-tý vrchol a jednotlivé sloupce určují začátek ($+1$) nebo konec ($-1$) hrany v tomto vrcholu
|
||||||
|
|
||||||
|
### Vlastnosti
|
||||||
|
|
||||||
|
**Tvrzení**: Množina $l$ řádků matice $M(\vec{G}), l \leq n$, je lineárně závislá právě tehdy, když existuje její neprázdná podmnožina mající nulový součet.
|
||||||
|
|
||||||
|
**Věta**: Je-li $\vec{G}$ slabě souvislý graf bez smyček, pak $\text{hod}(M(\vec{G})) = n-1$.
|
||||||
|
- V každém sloupci matice $M(\vec{G})$ je právě **jeden prvek +1** a **jeden prvek -1** $\implies$ součtem všech řádků matice $M(\vec{G})$ dostaneme nulový řádek.
|
||||||
|
- Tedy řádky jsou LZ a $\text{hod}(M(\vec{G})) < n$.
|
||||||
|
|
||||||
|
**Důsledek**: Je-li graf $\vec{G}$ bez smyček s $k$ komponentami (v jeho symetrizaci), potom $\text{hod}(M(\vec{G})) = n-k$.
|
||||||
|
|
||||||
|
### Redukovaná incidenční matice
|
||||||
|
|
||||||
|
Matici $M_{R}(\vec{G})$ vzniklou z matice $M(\vec{G})$ vypuštěním posledního řádku se nazývá **redukovaná incidenční matice orientovaného grafu** $\vec{G}$.
|
||||||
|
|
||||||
|
# Totální unimodularita
|
||||||
|
|
||||||
|
**Definice**: Matice $A$ je totálně unimodulární, pokud determinant libovolné čtvercové podmatice je $0, +1, -1$, tedy matice $A$ má pouze prvky $0, \pm1$.
|
||||||
|
|
||||||
|
**Věta**: Incidenční matice $M(\vec{G})$ orientovaného grafu $\vec{G}$ je totálně unimodulární.
|
|
@ -0,0 +1,19 @@
|
||||||
|
# Matice sousednosti
|
||||||
|
|
||||||
|
**Maticí sousednosti** orientovaného grafu $\vec{G}$ (připouštíme i smyčky) nazveme čtvercovou matici $A(\vec{G}) = (a_{ij})$ řádu $n$, definovanou předpisem
|
||||||
|
|
||||||
|
$a_{i,j} = \begin{cases} 1, \rule{.8cm}{0pt} \text{pokud v } \vec{G} \text{ existuje hrana } (i, j), \\ 0 \rule{1cm}{0pt} \text{jinak}. \end{cases}$
|
||||||
|
|
||||||
|
Pro neorientovaný graf $G$ definujeme matici sousednosti $A(G)$ jako matici sousednosti **jeho symetrické orientace**. (obecně $A(\vec{G})$ není symetrická)
|
||||||
|
|
||||||
|
- hodnota 1 na $i$-tém řádku a $j$-tém sloupci značí hranu z vrcholu $v_{i}$ do $v_{j}$
|
||||||
|
|
||||||
|
# Počty sledů
|
||||||
|
|
||||||
|
Nechť $\vec{G}$ je orientovaný graf a $A(\vec{G}) = (a_{ij})$ je jeho matice sousednosti.
|
||||||
|
- Graf $\vec{G}$ má $n$ vrcholů a matice $A(\vec{G})$ má řád $n$.
|
||||||
|
- Prvek $(a^{(k)}_{ij})$ matice $A^k(\vec{G})$ je roven počtu orientovaných sledů délky $k \geq 0$ z vrcholu $v_{i}$ do vrcholu $v_{j}$ v grafu $\vec{G}$.
|
||||||
|
- Matice sousednosti $A^0(\vec{G})$ bude rovna jednotkové matici řádu $n$.
|
||||||
|
- Matici $A^k(\vec{G})$ získám násobením matic sousedností $k$-krát (matice na $k$-átou).
|
||||||
|
|
||||||
|
|
Loading…
Reference in a new issue