FAV-ZCU/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/22. Matice sousednosti a počty sledů.md

Matice sousednosti

Maticí sousednosti orientovaného grafu \vec{G} (připouštíme i smyčky) nazveme čtvercovou matici A(\vec{G}) = (a_{ij}) řádu n, definovanou předpisem

a_{i,j} = \begin{cases} 1, \rule{.8cm}{0pt} \text{pokud v } \vec{G} \text{ existuje hrana } (i, j), \\ 0 \rule{1cm}{0pt} \text{jinak}. \end{cases}

Pro neorientovaný graf G definujeme matici sousednosti A(G) jako matici sousednosti jeho symetrické orientace. (obecně A(\vec{G}) není symetrická)

• hodnota 1 na $i$-tém řádku a $j$-tém sloupci značí hranu z vrcholu v_{i} do v_{j}

Počty sledů

Nechť \vec{G} je orientovaný graf a A(\vec{G}) = (a_{ij}) je jeho matice sousednosti.

• Graf \vec{G} má n vrcholů a matice A(\vec{G}) má řád n.
• Prvek (a^{(k)}_{ij}) matice A^k(\vec{G}) je roven počtu orientovaných sledů délky k \geq 0 z vrcholu v_{i} do vrcholu v_{j} v grafu \vec{G}.
  • Matice sousednosti A^0(\vec{G}) bude rovna jednotkové matici řádu n.
  • Matici A^k(\vec{G}) získám násobením matic sousedností $k$-krát (matice na $k$-átou).