1.6 KiB
1.6 KiB
Eulerovské grafy
Tah z u do v v grafu G je sled (u = v_{0}, v_{1}, \dots, v_{k} = v), ve kterém se mohou opakovat vrcholy, ale hrany v_{i−1}v_i jsou pro různá i různé.
- Tahem nazveme sled, ve kterém se neopakují hrany.
Uzavřený tah je tah, který je uzavřeným sledem (začíná a končí stejným vrcholem).
Uzavřený tah je eulerovský, pokud používá každou hranu grafu G.
Eulerovským grafem nazveme graf G, který obsahuje eulerovský tah.
Existence eulerovského tahu
Za jakých podmínek existuje sled, který používá každou hranu daného grafu právě jednou?
Věta: Souvislý graf G má eulerovský tah, právě když všechny jeho vrcholy mají sudý stupeň (jde z něj sudý počet hran).
- orientovaný graf je eulerovský právě tehdy, je-li souvislý a každý jeho vrchol má vstupní stupeň rovný výstupnímu
Hierholzerův algoritmus
Algoritmus pro hledání eulerovských tahů.
- vybereme libovolný vrchol
v \in Gsouvislého grafu - následujeme hrany a tvoříme tah
wz tohoto vrcholu, dokud se nevrátíme do vrcholuv - díky sudému stupni každého vrcholu se na žádném vrcholu není možné zaseknout (jednou hranou se vstoupí a existuje další nepoužitá, kterou se vystoupí)
- tento tah bude uzavřeným, ale možná nepokryje všechny vrcholy a hrany grafu
- dokud existuje vrchol
u \in w, který má nevyužité hrany, začneme nový tah zu, který následuje nepoužité hrany, dokud se nevrátíme dou - jelikož se jedná o souvislý graf, opakováním předchozího kroku vyčerpáme všechny hrany grafu