38 lines
2.2 KiB
Markdown
38 lines
2.2 KiB
Markdown
# Incidenční matice
|
|
|
|
## Pro neorientovaný graf
|
|
|
|
**Definice**: Nechť $G$ je **neorientovaný graf** s vrcholy $V = \{v_{1}, \dots, v_{n}\}$ a hranami $E = \{e_{1}, \dots, e_{m}\}$. Matice $M(G)$ typu $n/m$ definovaná předpisem
|
|
|
|
$m_{i,j} = \begin{cases} 1, & \text{jestliže } v_{i} \in e_{j}, \\ 0 & \text{jinak} \end{cases}$
|
|
|
|
se nazývá **vrcholově-hranová incidenční matice** grafu $G$.
|
|
|
|
## Pro orientovaný graf
|
|
|
|
**Definice**: Nechť $\vec{G}$ je **orientovaný graf** s vrcholy $V = \{v_{1}, \dots, v_{n}\}$ a hranami $E = \{e_{1}, \dots, e_{m}\}$. Předpokládáme, že graf $\vec{G}$ **neobsahuje smyčky** (hrany $x, x$). Matice $M(\vec{G})$ typu $n/m$ definovaná předpisem
|
|
|
|
$m_{i,j} = \begin{cases} 1 & \text{pokud hrana } e_{j} \text{ začíná ve vrcholu } v_{i}\\-1 & \text{pokud hrana } e_{j} \text{ končí ve vrcholu } v_{i}\\0 & \text{jinak (} e_{j} \text{ nekoliduje s } v_{i}\text{)} \end{cases}$
|
|
|
|
se nazývá **vrcholově-hranová incidenční matice** orientovaného grafu $\vec{G}$.
|
|
- n-tý řádek je n-tý vrchol a jednotlivé sloupce určují začátek ($+1$) nebo konec ($-1$) hrany v tomto vrcholu
|
|
|
|
### Vlastnosti
|
|
|
|
**Tvrzení**: Množina $l$ řádků matice $M(\vec{G}), l \leq n$, je lineárně závislá právě tehdy, když existuje její neprázdná podmnožina mající nulový součet.
|
|
|
|
**Věta**: Je-li $\vec{G}$ slabě souvislý graf bez smyček, pak $\text{hod}(M(\vec{G})) = n-1$.
|
|
- V každém sloupci matice $M(\vec{G})$ je právě **jeden prvek +1** a **jeden prvek -1** $\implies$ součtem všech řádků matice $M(\vec{G})$ dostaneme nulový řádek.
|
|
- Tedy řádky jsou LZ a $\text{hod}(M(\vec{G})) < n$.
|
|
|
|
**Důsledek**: Je-li graf $\vec{G}$ bez smyček s $k$ komponentami (v jeho symetrizaci), potom $\text{hod}(M(\vec{G})) = n-k$.
|
|
|
|
### Redukovaná incidenční matice
|
|
|
|
Matici $M_{R}(\vec{G})$ vzniklou z matice $M(\vec{G})$ vypuštěním posledního řádku se nazývá **redukovaná incidenční matice orientovaného grafu** $\vec{G}$.
|
|
|
|
# Totální unimodularita
|
|
|
|
**Definice**: Matice $A$ je totálně unimodulární, pokud determinant libovolné čtvercové podmatice je $0, +1, -1$, tedy matice $A$ má pouze prvky $0, \pm1$.
|
|
|
|
**Věta**: Incidenční matice $M(\vec{G})$ orientovaného grafu $\vec{G}$ je totálně unimodulární. |