1.2 KiB
Modulární počítání
Eukleidův algoritmus
Algoritmus pro nalezení největšího společného dělitele čísel a a b. Největšího společného dělitele označíme jako \gcd(a, b).
Mějme a = 57, b = 27. Platí, že c = \gcd(a, b) dělí a a rovněž b, dělí tedy i rozdíl a-b = 30. Pokud nyní najdeme \gcd(30, 27), získáme i \gcd(57, 27). Aplikacím tohoto postupu dostaneme postupně \gcd(30, 27) = \gcd(3, 27) = 3, tedy i \gcd(57, 27) = 3.
Modulární aritmetika
Ekvivalence \sim na množině X je relace na X, která je reflexivní, symetrická a tranzitivní.
Ekvivalence, která zachovává operace definované na množině, se nazývá kongruence. Jedna z takových kongruencí je například kongruence modulo p.
Definice
- Nechť
p \geq 1je přirozené číslo. Definujme na množině všech celých čísel relaci\equiv(kongruenci modulo $p$) předpisemx \equiv y, pokudpdělí rozdílx - y.
Zapisujeme x \equiv y \quad (\text{mod } p).
Pro a \in \mathbb{Z}_{n} rozumíme opačným prvkem prvek x \in \mathbb{Z}_{n} takový, že řeší rovnici a \cdot x \equiv 1 \quad (\text{mod } n). Značíme jej -a.
TODO