FAV-ZCU/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/13. Minimalizace Booleovských funkcí.md

Minimalizace Booleovských funkcí

K minimalizaci Booleovských funkcí se využívá Quineho-McCluskeyho metoda minimalizace.

Metoda minimalizace

Implikantem Booleovy funkce f se nazývá každý součin literálů proměnných, který implikuje f.

• f(x, y, z) = x \overline z + \overline y
• cíl: vynechání některých součinů tak, že výsledek je stále roven funkci f
• součin literálů p je implikantem funkce f, pokud p \leq f
• implikant je prostý, pokud součin vzniklý odstraněním libovolného literálu z p přestane být implikantem funkce f

Postup

Mějme Booleovskou funkci f zadanou tabulkou.

1. Vybereme řádky, kde je hodnota f rovna 1.
2. Z těchto řádků vybereme ty, které je možné dát do dvojic, ve kterých se budou lišit pouze v jedné pozici.
3. Dvojice vypíšeme a lišící se pozici nahradíme symbolem -.
4. Prosté implikanty nevybrané ve 2. kroce a také ty upravené zapíšeme pod sebe a přiřadíme k nim součinové klauzule podle tabulky níže.

řádek	x	y	z	klauzule
2.	0	1	0	\overline xy\overline z
1., 5.	-	0	1	\overline yz
5., 7.	1	-	1	xz

Máme vyjádření f(x, y, z) = \overline xy\overline z + \overline yz + xz.

Tabulka pokrytí

Hledáme nezkratitelné vyjádření, které stále bude rovno funkci f.

Sloupce odpovídají jednotlivým původním vstupům, pro něž f nabývá hodnoty 1, řádky odpovídají získaným prostým implikantům.

x	y	z	1.	2.	5.	7.
-	0	1	[ ]		[ ]
1	-	1			[ ]	[ ]
0	1	0		[ ]

Každý ze sloupců v tabulce musí být pokryt nějakým prostým implikantem. Vybereme nejprve ty sloupce, které jsou pokrytelné pouze jedním prostým implikantem a k nim vždy příslušný implikant.

x	y	z	1.	2.	5.	7.	implikant
-	0	1	[x]		[ ]		\overline yz
1	-	1			[ ]	[x]	xz
0	1	0		[x]			\overline xy\overline z

Pokrytí existuje jediné. Celkem máme tak jedno výsledné řešení, minimální disjunktivní formu f(x, y, z) = \overline xy\overline z + \overline yz + xz.