FAV-ZCU/KIV PPA2/Prednaska10.md

Graf

• podchycuje obecný vztah (relaci) mezi prvky
• strom je speciální typ grafu

Druhy grafů

• Orientovaný graf
  • podchybuje nesymetrické vztahy

Formální definice

• Neorientovaný graf G je dvojice V, E:
  • V je množina vrcholů (vertex, vertices)
  • E je množina hran (edges)
  • Hrana je dvouprvková množina \{ a,b \}, a \in V, b \in V (nezáleží na pořadí)
• Orientovaný graf G je dvojice V, E:
  • V je množina vrcholů (vertex, vertices)
  • E je množina hran (edges)
  • Hrana je uspořádaná dvojice prvků ( a,b ), a \in V, b \in V (záleží na pořadí)
    • mají šipku

Značení

• \vert V\vert - počet vrcholů grafu
• \vert E\vert - počet hran grafu

• V(G) - množina vrcholů grafu G
• V(E) - množina hran grafu G

• y \in V je sousedem x \in V právě když
  • existuje orientovaná hrana E = (x, y)
  • existuje neorientovaná hrana E, x \in E, y \in E

Operace

• vytvoření grafu s danou množinou vrcholů V (bez hran)
• přidání (ne)orientované hrany
• zjištění všech sousedů vrcholu x \in V
• zjištění, zda je y \in V sousedem x \in V (test sousednosti)

Vrchol

• můžou s ním být asiciována data
• ADT Graf neumožňuje odebírat a přidávat vrcholy
  • data vrcholů je možné držet mimo ADT v poli
  • jedinou reprezentací vrcholu je jeho index

Implementace

• seznamy sousednosti
• matice sousednosti

• implementace se liší pro orientované a neorientované grafy

Implementace seznamem sousednosti

• každý vrchol má své sousedy uložené v ADT Seznam
  • není vhodné použít např. LinkedList
    • nevyužijeme většinu funkcionality
    • program by byl neefektivní (konverze int/Integer)
    • chceme vědět, jak věci fungují uvnitř
  • použijeme vlastní implementaci se spojovacím prvkem
  • typ dat: int

• reference na první prvek každého seznamu jsou uloženy v poli velikosti \vert V\vert

Operace

• přidání hrany
  • pro neorientovaný přidáme obě hrany (z A do B a zároveň z B do A)
  • vkládáme na začátek, je to rychlejší
• nalezení sousedů
  • projdeme náš seznam edges
  • složitost
    • záleží na počtu sousedů
    • husté grafy: počet sousedů může být \Omega(\vert V\vert)
    • řídké grafy: průměrný počet sousedů \mathcal{O}(1)
• test sousednosti
  • projdeme všechny sousedy a porovnáváme s hledaným
  • složitost jako u hledání sousedů

Úprava na ohodnocený graf

• na každé hraně má přiřazené číslo (např. délka cesty, propustnost, ...)
• do spojovacího prvku přidáme ohodnocení hrany

Implementace maticí sousednosti

Orientovaný graf

• Matice \vert V\vert \times \vert V\vert obsahuje na pozici [i, j]
  • 1, pokud z $i$-tého vrcholu vede hrana do $j$-tého
  • 0, pokud ne

Neorientovaný graf

• Matice \vert V\vert \times \vert V\vert obsahuje na pozici [i, j] a [j, i]
  • 1, pokud z $i$-tého vrcholu vede hrana do $j$-tého
  • 0, pokud ne

Reprezentace matice

• int[][] - alokováno zbytečně moc paměti
• byte[][] - bude nám stačit
• boolean[][] - překladač i pro boolean alokuje celý byte

• první index - řádek
• druhý index - sloupce

Operace

• přidání hrany
  • nastavíme 1 na [i, j] (u neorientovaného grafu na [i, j] i [j, i])
• nalezení sousedů vrcholu v
  • projdeme celou řádku - matrix[v][i]
  • složitost \Theta(\vert V\vert) nezávisle na hustotě grafu
• test sousednosti
  • zjištění, jestli na [i, j] je 1
  • složitost \mathcal{O}(1) nezávisle na hustotě grafu

Úprava na ohodnocený graf

• matice jako double[][]
• v matici na pozici [i, j] uložíme ohodnocení hrany
• na ostatních pozicích bude hodnota mimo rozsah ohodnocení
  • -1, pokud ohodnocení nesmí být záporné
  • NaN, pokud NaN není přípustným ohodnocením
  • záleží na konkrétní aplikaci

Porovnání implementací

Paměťová složitost

• seznam: \mathcal{O}(\vert V\vert + \vert E\vert)
• matice: \Omega(\vert V\vert^2)

Výpočetní složitost operací

• vložení hrany
  • seznam i matice: \mathcal{O}(1)
• nalezení sousedů vrcholu
  • seznam: \Omega(n), n je počet sousedů vrcholu
  • matice: \Omega(\vert V\vert)
• test sousednosti
  • seznam: \Omega(n), n je počet sousedů vrcholu
  • matice: \mathcal{O}(1)

Záleží na hustotě grafu

• Řídký graf
  • \vert E\vert \ll \vert V\vert^2
  • obvykle vhodnější implementace seznamem sousedů
  • např. pro planární trojúhelníkové sítě se dá dokázat, že průměrný počet vrcholů je blízký 6
    • složitost testu sousednosti v průměru \mathcal{O}(1)
• Hustý graf
  • \vert E\vert \simeq \vert V\vert^2, případně \vert E\vert = k\vert V\vert^2 pro nějakou konstantu k
  • obvykle vhodnější implementace maticí sousedů

Procházení grafu

Příklady

• Existuje v grafu cesta z vrcholu A do B?
• Graf: bludiště
• Vrchol: křižovatka
• Hrana: cesta mazi křižovatkami
• Úkol: zjistit, zda existuje cesta z jednoho místa na jiné

• Jak dlouhá (kolik hran) je nejkratší cesta z vrcholu A do vrcholu B?
• Graf: vlaková spojení
• Vrchol: nádraží
• Hrana: mezi nádražími jede přímý spoj
• Úkol: vyhledat spojení s nejmenším počtem přestupů

• Které vrcholy se v grafu vyskytují ve vzdálenosti menší než k (počet hran)?
• Graf: síť kontaktů LinkedIn
• Vrchol: záznam osoby
• Hrana: konexe
• Úkol: prohledat konexe do úrovně k, zda obsahují hledanou osobu

• Existuje v orientovaném grafu cyklus?
• Graf: vztah buněk v tabulkovém kalkulátoru
• Vrchol: buňka
• Hrana A \to B: hodnota buňky A zavísí na hodnotě buňky B
• Úkol: zjistit, zda je možné tabulku vyhodnotit (nesmí obsahovat cyklus!)

• Přiřadit vrcholům indexy tak, že hrany vedou vždy od menšího indexu k většímu
• Graf: závislosti činností
• Vrchol: činnost
• Hrana A \to B: činnost B může být vykonána, teprve když je činnost A hotová
• Úkol: zjistit, v jakém pořadí je možné činnosti vykonat

Prohledávání do šířky (BFS)

• Breadth-First Search

• zpracovává vrcholy grafu od vrcholu s v pořadí od blízkých ke vzdáleným
• postup vyžaduje označování vrcholů
  • označení uložíme do pole délky \vert V\vert
• možná označení vrcholů
  • nenavštívený (kód 0)
  • čekající na zpracování (kód 1)
  • hotový (kód 2)
• vrcholy se vkládají do fronty
  • všechny vrcholy ve vzdálenosti k se zpracují před těmi se vzdáleností > k

Pozorování

• BFS je potřeba doplnit o nějaký užitečný kód
  • záleží to na řešeném problému
• BFS vždy zpracuje jen jednu komponentu (jen vrcholy dosažitelné ze startovního vrcholu)
  • může se vyřešit pomocí metody BFS_all, která bude procházet for-cyklem všechny nezpracované vrcholy (kód 0)

Složitost

• vkládání do fronty
  • každý vrchol jen jednou
  • \Omega(\vert V\vert)
• procházení sousedů
  • implementace grafu seznamem: \mathcal{O}(\vert E\vert)
  • implementace grafu maticí: \Omega(\vert V\vert^2)

• celkem
  • úplný, popř. hustý graf nebo implementace sousednosti maticí: \Omega(\vert V\vert^2)
  • implementace sousednosti seznamem: \mathcal{O}(\vert V\vert + \vert E\vert)
    • graf může mít počet hran až \vert V\vert^2