FAV-ZCU/KFY FYI1/Příklady/Priklad08.md

Zadání

Balistické kyvadlo je tvořeno truhlíkem s pískem zavěšeným na dlouhých drátech. Vstřelíme-li do truhlíku projektil, kyvadlo se vychýlí, a na základě této výchylky určete rychlost střely.

• M - hmotnost bal. kyvadla
• l - délka závěsu
• m - hmotnost střely
• v_{0} = \, ?

předpoklady

• tíhové pole Země
• střela v truhlíku uvázne

zákon zachování mechanické energie

• W_{kin} + W_{pot} = \text{konst.}

zákon zachování hybnosti

• \vec p = \text{konst.} (hybnost)
• v tomto případě
  • \vec{p}_\text{střela} = \vec{p}_\text{střela + kyvadlo}
  • m \cdot v_{0} = (m+M) \cdot v_{1}
  • hybnost před srážkou = hybnost po srážce

z obrázku platí

• (l-h)^2 + d^2 = l^2
• \cancel{l^2} - 2lh + h^2 + d^2 = \cancel{l^2}
• 2lh = h^2 + d^2
• \displaystyle \frac{2lh}{d^2} = \frac{h^2}{d^2} + 1
• pro velká l platí, že
  • h \ll d \implies \text{zanedbáme} \, \frac{h^2}{d^2}
• \displaystyle h = \frac{d^2}{2l}

Výpočet

vyjádříme v_{1} ze zákona zachování mechanické energie

• \displaystyle \frac{1}{2}\cancel{(m+M)} \cdot v_{1}^2 = \cancel{(m+M)} \cdot g \cdot h
• \displaystyle \frac{1}{2} \cdot v_{1}^2 = g \cdot h
• v_{1}^2 = 2gh
• v_{1} = \sqrt{ 2gh }

využijeme vzorečku ze zákona o zachování hybnosti

• m \cdot v_{0} = (m+M) \cdot v_{1}
• v_{0} = \frac{m+M}{m} \cdot v_{1}

Výsledek

rychlost střely podle svislé výchylky h

• dosazení do vzorce pro v_{0} podle zákona o zachování hybnosti
• \displaystyle v_{0} = \frac{m+M}{m} \cdot \sqrt{ 2gh }

rychlost střely podle vodorovné výchylky d

• pro zjištění h dosadíme vzorec pro jeho výpočet z d
• \displaystyle v_{0} = \frac{m+M}{m} \cdot \sqrt{ \cancel{2} \cdot g \cdot \frac{d^2}{\cancel{2}l} } = \frac{m+M}{m} \cdot \sqrt{ \frac{g}{l} } \cdot d