FAV-ZCU/KFY FYI1/Příklady/Priklad09.md

Zadání

Koule zadaného poloměru mírně kývá na závěsu zadané délky. Spočtěte: dobu kyvu kyvadla. Jaké chyby se dopustíme, budeme-li kouli považovat za bodovou hmotnost? (kyv = pohyb ze strany na stranu, kmit = 2 kyvy = pohyb z jedné strany na druhou a zpět)

• R - poloměr koule
• l - délka závěsu
• T_{k} = \, ? (doba kyvu kyvadla)
• chyba pro R \to 0 = \, ?

• netlumené kmity (tření)
• tíhové pole Země

II. impulzová věta pro rotaci tělesa

• J \cdot \epsilon = M
  • \displaystyle\epsilon = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d^2\varphi}{dt^2}
  • \displaystyle J = \frac{2}{5}mR^2+m\cdot l^2 (použití Steinerovy věty)
  • M = - l \cdot mg\sin(\varphi) (moment síly)

Výpočet

dosadíme do rovnice \epsilon, J, M a upravíme

• \displaystyle\left(\frac{2}{5}mR^2 + m\cdot l^2\right) \cdot \frac{d^2\varphi}{dt^2} = -l\cdot mg\sin(\varphi)
• \displaystyle\left(\frac{2}{5}\cancel{m}R^2 + \cancel{m}\cdot l^2\right) \cdot \frac{d^2\varphi}{dt^2} = -l\cdot \cancel{m}g\sin(\varphi)
• \displaystyle\left(\frac{2}{5}R^2 + l^2\right) \cdot \frac{d^2\varphi}{dt^2} + l\cdot g\sin(\varphi) = 0
• \displaystyle\frac{d^2\varphi}{dt^2} + \frac{l\cdot g}{\frac{2}{5}R^2 + l^2}\cdot\sin(\varphi) = 0
  • nahradíme \frac{l\cdot g}{\frac{2}{5}R^2 + l^2} = \omega^2 - úhlová rychlost

pro úhly \varphi < 5^\circ \implies \sin \varphi \sim \varphi

• \displaystyle\frac{d^2\varphi}{dt^2} + \omega^2\cdot\varphi = 0
• lineární harmonický oscilátor

Doba kyvu kyvadla

• využijeme vzoreček pro úhlovou rychlost \omega^2 uvedený výše
• \displaystyle T_{k} = \frac{\pi}{\omega}

\displaystyle T_{k} = \frac{\pi}{\sqrt{ \frac{l \cdot g}{\frac{2}{5}R^2+l^2} }} = \pi \cdot \frac{\sqrt{ \frac{2}{5} R^2 + l^2 }}{\sqrt{ l \cdot g }} = \pi \cdot \frac{\sqrt{ l \cdot \left[ \frac{2}{5}\left( \frac{R}{l} \right)^2+1 \right] }}{\sqrt{ g }} = \pi \cdot \sqrt{ \frac{l}{g} } \cdot \sqrt{ \frac{2}{5} \left( \frac{R}{l} \right)^2 + 1 }

Výsledek

pro \displaystyle R \to 0 \implies T_{k} = \pi \cdot \sqrt{ \frac{l}{g} }

• doba kyvu matematického kyvadla

bude-li R 10% délky závěsu l \implies R = 0.1\cdot l

• \displaystyle T_{k} = T^M_{k} \cdot \sqrt{ \frac{2}{5} \left(\frac{0.1 \cdot l}{l}\right)^2 +1 } = T^M_{k \cdot \sqrt{ 1.004 }} = T^M_{k} \cdot 1,002
• chyba by byla 0.2%