FAV-ZCU/KFY FYI1/Příklady/Priklad10.md

Zadání

Spočtěte délku matematického sekundového kyvadla, víte-li, že jeho výchylka klesne, nejsou-li hrazeny energetické ztráty, za 5 minut na 1/10. Jakému logaritmickému dekrementu to odpovídá? (Uvažujeme malé kmity)

• T^M_{k} = 1 \, \text{s}
• t = 5 \, \text{min}
• \displaystyle A(t) = \frac{A_{0}}{10} \to \frac{A_{0}}{A(t)} = 10
• délka kyvadla l = \, ?
• logaritmický dekrement \delta = \text{?}
• obr. z příkladu 9

pro kruhovou frekvenci tlumených kmitů platí

• \omega^2_{1} = \omega^2 - b^2
  • \omega^2_{1} - úhlová frekvence tlumených kyvů
  • \omega^2 - úhlová frekvence netlumených kyvů
  • b^2 - koeficient/faktor útlumu

kruhová frekvence bezztrátového kyvadla (bez tlumení)

• \displaystyle\omega^2 = \frac{g}{l}

máme sekundové kyvadlo \implies T_{1} = 2 \, \text{s} (kmit)

• \displaystyle \omega_{1} = \frac{2\pi}{T_{1}} = \frac{2\pi}{2} = \pi
  • pro kyv \implies T = 1 \, \text{s}

tlumící konstantu určíme z poklesu amplitud

• \displaystyle\frac{A_{0}}{A(t)} = \frac{1}{e^{-bt}} = e^{bt}
• \displaystyle\implies \ln\left( \frac{A_{0}}{A(t)} \right) = bt
• \displaystyle\implies b = \frac{1}{t}\cdot \ln\left( \frac{A_{0}}{A(t)} \right)
• pro A(t) = \frac{1}{10}A_{0} \implies \frac{A_{0}}{A(t)} = 10

Výpočet

dosadíme do vzorce

• \omega_{1}^2 = \omega^2 - b^2

• \displaystyle\pi^2 = \frac{g}{l} - \frac{1}{t^2} \cdot \ln^2\left( \frac{A_{0}}{A(t)} \right)
• \displaystyle \implies l = \frac{g}{\pi^2 + \frac{1}{t^2} \cdot \ln^2\left( \frac{A_{0}}{A(t)} \right)}

logaritmický dekrement \delta

• logaritmus podílu dvou, o periodu posunutých, amplitud
• \displaystyle\delta = \ln\left[ \frac{A(t)}{A(t+T_{1})} \right] = \ln\left[ \frac{A_{0}\cdot e^{-bt}\cdot \sin(\omega_{1}t)}{A_{0}\cdot e^{-b(t+T_{1})}\cdot \sin[\omega_{1}\cdot(t+T_{1})]} \right] =
• \displaystyle= \ln\left[ \frac{\cancel{A_{0}}\cdot \cancel{e^{-bt}}\cdot \cancel{\sin(\omega_{1}t)}}{\cancel{A_{0}}\cdot \cancel{e^{-bt}}e^{-bT_{1}}\cdot \cancel{\sin[\omega_{1}\cdot(t+T_{1})]}} \right] = \ln[e^{bT_{1}}] = b\cdot T_{1}
• \displaystyle\delta = \frac{1}{t}\cdot \ln\left( \frac{A_{0}}{A(t)} \right) \cdot T_{1}

Výsledek

\displaystyle l = \frac{9.81}{\pi^2+\frac{1}{5\cdot 60}\cdot \ln^2(10)} = 0.994 \, \text{m}

\displaystyle\delta = \frac{1}{5\cdot 60}\cdot \ln\left( 10 \right) \cdot 2 = 0.015