FAV-ZCU/KMA LAA/Pojmy.md

Zobrazení - Předpis f : X \to Y, kdy prvkům z X přiřazujeme prvky z Y (např. reálná funkce).

Komplexní čísla - Číslo z = a+bi, kde a, b \in \mathbb{R}; a \text{Re}(z) = a, \text{Im}(z) = b; hodnota i = \sqrt{-1}.

Polynomy

Polynom - Polynomem proměnné x je předpis (funkce) p(x) = a_{n}x^n + \dots + a_{1}x + a_{0}.

Koeficienty polynomu $p(x)$ - Hodnoty a_{i} v předpisu polynomu.

Stupeň polynomu $p(x)$ - Největší k, pro něž je a_{k} nenulové, značíme \text{st}(p(x)).

Nulový polynom - Polynom p(x), který má všechny koeficient nulové, poté platí \text{st}(p(x)) = -\infty.

Operace s polynomy ??

Kořen polynomu - Číslo c \in \mathbb C, pro které platí p(c) = 0.

Speciální typy polynomů ??

Matice

Matice typu $m/n$ - Soubor (tabulka) m \times n prvků (čísel) a_{ij} zapsanných do m řádků a n sloupců, obvykle a_{ij} \in \mathbb C.

Správně bychom měli definovat: Matice A typu m/n je zobrazení \{1, 2, \dots, m\} \times \{1, 2, \dots, n\} \to \mathbb C (nebo speciálně $\mathbb R$).

Názvosloví:

• (i, j) - pozice v matici
• a_{ij} - prvek na pozici (i, j)
• i - řádkový index
• j - sloupcový index
• a_{kk} - diagonální prvek matice
• m/n - typ matice: m řádků, n sloupců

Tvary

• Čtvercová matice - matice typu m/n, kde m=n
• Obdélníková matice - matice typu m/n, kde m \neq n
• $m$-složkový sloupcový vektor - matice typu m/1
• $n$-složkový řádkový vektor - matice typu 1/n

Nulová matice - Matice typu m/n, jestliže a_{ij} = 0, značíme ji 0.

Diagonální matice - Čtvercová matice, pro kterou platí a_{ij} = 0 jestliže i \neq j, zapisujeme A = \text{diag}(a_{11}, a_{22}, a_{nn}).

Jednotková matice - Diagonální matice, pro kterou platí a_{ii} = 1, značí se I.

Symetrická matice - Čtvercová matice, pro kterou platí a_{ij} = a_{ji}.

Antisymetrická matice - Čtvercová matice, pro kterou platí a_{ij} = -a_{ji} (a $a_{ii} = 0$).

Horní trojúhelníková matice - Matice, pro kterou platí a_{ij} = 0 pro všechna i > j.

Dolní trojúhelníková matice - Matice, pro kterou platí a_{ij} = 0 pro všechna i < j.

Rovnost - Matice A a B jsou si rovny, jestliže jsou stejného typu a platí a_{ij} = b_{ij} pro všechna i, j, píšeme A = B.

Opačná matice - Matice [-a_{ij}] k matici A, značíme -A.

Transponovaná matice - Matice [a_{ji}] typu n/m k matici A = [a_{ij}] typu m/n.

Mocniny matice - Nultá mocina A^0 = I, $k$-tá mocnina A^k = A \cdot A \cdot \dots \cdot A.

Inverzní matice - Matice A^{-1} je inverzní matice ke čtvercové matici A, pro kterou platí, že A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I.

Rozšířená matice soustavy - Matice A^R = [A | b], kde matice A obsahuje vektory neznámých a b je vektor pravých stran.

Pivot v řádku $i$ - První nenulový prvek v tomto řádku (bráno zleva).

Matice ve stupňovitém tvaru - Matice A, kde pro každý řádek platí: Je-li v $i$-tém řádku pivod na pozici j, ve všech dalších řádcích je na pozici j' > j a je-li řádek nulový, každý další je také nulový.

Lineární vektorové prostory

Lineární vektorový prostor nad tělesem $\mathbb T$ - Neprázdná množina \mathcal{V}, kde pro každé \vec x, \vec y, \vec z \in \mathcal{V} a pro každé k, l \in \mathbb T

• existuje právě jeden prvek \vec u \in \mathcal{V} tak, že \vec u = \vec x + \vec y,
• \exists!\space \vec u \in \mathcal{V} tak, že \vec u = k \vec x,
• (\vec x + \vec y) + \vec z = \vec x + (\vec y + \vec z),
• existuje prvek \vec o \in \mathcal{V} takový, že \vec x + \vec o = \vec o + \vec x = \vec x,
• (k+l)\vec x = k\vec x + l\vec x,
• (kl)\vec x = k(l\vec x),
• 1\vec x = \vec x,
• k(\vec x + \vec y) = k\vec x + k\vec y.

Lineární kombinace - Prvek \lambda_{1} \vec v_{1} + \lambda_{2} \vec v_{2} + \dots + \lambda_{k} \vec v_{k}, kde \vec v_{i} jsou prvky LVP \mathcal{V} a \lambda_{i} jsou koeficienty.

Lineární (ne)závislost - Prvky \vec v_{i} nazveme LN pouze tehdy, pokud \lambda_{1} \vec v_{1} + \lambda_{2} \vec v_{2} + \dots + \lambda_{k} \vec v_{k} = \vec o jedině když \lambda_{i} = 0, v opačném případě se prvky nazývají LZ.

Podprostor - Nechť \mathcal{V} je LVP a \mathcal{V}' \subset \mathcal{V}. Prostor \mathcal{V}' je podprostorem LVP \mathcal{V}, jestliže

1. pro každé \vec x_{1}, \vec x_{2} \in \mathcal{V}' je \vec x_{1} + \vec x_{2} \in \mathcal{V}',
2. pro každé \vec x \in \mathcal{V}' a pro každé \lambda \in \mathbb R je \lambda\vec x \in \mathcal{V}'.

Lineární obal množiny - Nechť M = \{ \vec v_{1}, \vec v_{2}, \dots, \vec v_{k} \} \subseteq \mathcal{V}. Množinu \langle M \rangle všech lineárních kombinací prvků \vec v_{i} nazveme lineárním obalem množiny M.

Generující množina LVP - Množina M, která generuje LVP \mathcal{V}, jestliže \langle M \rangle = \mathcal{V}.

Konečně generovaný prostor - Prostor, ve kterém existuje konežná množina generující \mathcal{V}.

Báze prostoru $\mathcal{V}$ - Lineárně nezávislá množina, která generuje \mathcal{V}.

Dimenze $\mathcal{V}$ - Počet prvků báze LVP \mathcal{V}, značí se \dim(\mathcal{V}).

Souřadnice prvku - Nechť \mathcal{V} je nenulový konečně generovaný LVP, \vec v \in \mathcal{V} a nechť B = {\vec b_{1}, \vec b_{2}, \dots, \vec b_{k}} je jeho uspořádaná báze. Jednoznačně určené koeficienty c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n} \in \mathbb{R} LK v = c_{1}\vec{b_{1}}, c_{2}\vec{b_{2}}, \dots, c_{n}\vec{b_{n}} prvku \vec v bází B, značí se \widehat{\vec v_{B}} = [c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n}]^T.