FAV-ZCU/KFY FYI1/Příklad 1.md

Zadání

Vlak se pohybuje po kruhové dráze o poloměru 800 m. V počátečním okamžiku měl vlak rychlost 54 km/h a v koncovém 18 km/h. Mezi počátečním a koncovým okamžikem vlak urazil 800 m. Určete: dobu potřebnou k uražení této dráhy a velikost zrychlení v počátečním a koncovém okamžiku.

• R = 800 \text{ m}
• v_{0} = 54 \text{ km/h}
• v_{1} = 18 \text{ km/h}
• S = 800 \text{ m}
• T = ?
• a_{0} = ?
• a_{1} = ?

• a = \sqrt{ a_{t}^2 + a_{n}^2 }
• a_{t} = \text{konst.} (křivočarý pohyb rovnoměrně zrychlený)
• \displaystyle a_{n} = \frac{v^2}{R} = \frac{v_{0}^2}{R}, \frac{v_{1}^2}{R}

Výpočet

• v = a_{t} \cdot t + v_{0}
• s = \frac{1}{2}a_{t} \cdot t^2 + v_{0} \cdot t + s_{0}

• pro t = 0 \implies s_{0} = 0
• v = a_{t} \cdot t + v_{0}
• s = \frac{1}{2}a_{t} \cdot t^2 + v_{0} \cdot t

• pro t = T
• v_{1} = a_{t} \cdot T + v_{0}
• s = \frac{1}{2}a_{t} \cdot T^2 + v_{0} \cdot T

• T = \frac{v_{1}-v_{0}}{a_{t}}

---

\displaystyle s = \frac{1}{2}\cancel{a_{t}} \cdot \frac{(v_{1} - v_{2})^T}{a_{t}^{\cancel{2}}} + v_{0} \cdot \frac{v_{1} - v_{0}}{a_{t}} = \frac{v_{1}^2 - 2v_{1}v_{0} + v_{0}^2}{2a_{t}} + \frac{v_{0}v_{1} - v_{0}^2}{a_{t}} = \frac{v_{1}^2 - \cancel{2v_{1}v_{0}} + \cancel{v_{0}^2} + \cancel{2v_{1}v_{0}} - \cancel{2}v_{0}^2}{2a_{t}} = \frac{v_{1}^2 - v_{0}^2}{2a_{t}}

\displaystyle T = \frac{v_{1} - v_{0}}{\frac{v_{1}^2 - v_{0}^2}{2s}} = \frac{v_{1} - v_{0}}{v_{1}^2 - v_{0}^2} \cdot 2s = \frac{\cancel{v_{1} - v_{0}}}{\cancel{(v_{1} - v_{0})}(v_{1} + v_{0})} \cdot 2s = \frac{2s}{v_{1} + v_{0}}

a_{0} = \sqrt{ \left(\frac{v_{1}^2 - v_{0}^2}{2s}\right)^2 + \left(\frac{v_{0}^2}{R}\right)^2 }

a_{1} = \sqrt{ \left(\frac{v_{1}^2 - v_{0}^2}{2s}\right)^2 + \left(\frac{v_{1}^2}{R}\right)^2 }

• v_{0} = 54 \text{ km/h} = 15 \text{ m/s}
• v_{1} = 18 \text{ km/h} = 5 \text{ m/s}

a_{t} = \frac{5^2 - 15^2}{2 \cdot 800} \text{ m}\cdot\text{s}^{-2} = \frac{25 - 225}{1600} \text{ m}\cdot\text{s}^{-2} = -\frac{200}{1600} \text{ m}\cdot\text{s}^{-2} = -0.125 \text{ m}\cdot\text{s}^{-2}

• mínus, takže vektor míří opačným směrem

Výsledek

T = \frac{800}{5 + 15}\cdot 2s = \frac{1600}{20}s = 80s

a_{0} = \sqrt{ (-0.125)^2 + \left(\frac{15^2}{800}\right)^2 } \text{ m}\cdot\text{s}^{-2} = 0.308 \text{ m}\cdot\text{s}^{-2}

a_{1} = \sqrt{ (-0.125)^2 + \left(\frac{5^2}{800}\right)^2 } \text{ m}\cdot\text{s}^{-2} = 0.129 \text{ m}\cdot\text{s}^{-2}