FAV-ZCU/KMA LAA/3. Lineární vektorové prostory.md

Lineární vektorové prostory

Příklady:

zápis	typ
R^2, R^3	geometrické vektory o 2, resp. 3 složkách
R^n	n-tice reálných čísel (aritmetické vektory)
M_{m,n}	všechny matice typu m/n (nad R, nad $C$)
P_n	všechny polynomy stupně nejvýše n
C(a,b)	všechny funkce spojité na <a, b>

Vektorový prostor V nad tělesem K:

• sčítání: V + V \to V
• násobení: K \times V \to V

typ	pro všechna	platí
S	\forall \vec{u}, \vec{v} \in V	\vec{u} + \vec{v} = \vec{w}
S	\forall \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \in V	\vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}) = (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w}
S	\exists \vec{o} \in V : \forall \vec{u} \in V	\vec{u} + \vec{o} = \vec{u}
S	\forall \vec{u} \in V \ \ \exists \vec{v} \in V	\vec{u} + \vec{v} = \vec{o}
N	\forall \vec{u} \in V, \forall a, b \in K	a \times (b \times \vec{u}) = (a \times b) \times \vec{u}
N	\forall \vec{u} \in V	1 \times \vec{u} = \vec{u}
D	\forall \vec{u} \in V, \forall a, b \in K	(a + b) \times \vec{u} = a\vec{u} + b\vec{u}
D	\forall \vec{u}, \vec{v} \in V, \forall a \in K	a \times (\vec{u} + \vec{v}) = a\vec{u} + a\vec{v}

Podprostor

Máme lineární vektorový prostor V a jeho podprostor U \subset V, jestliže

1. pro každé \vec{u}, \vec{v} \in U je \vec{u} + \vec{v} \in U
2. pro každé \vec{u} \in U a pro každé a \in K je a \cdot \vec{u} \in U
   • vyplývá, že v podprostoru U bude vždy i nulový vektor ($a = 0$)

Každý podprostor vektorového prostoru je také vektorovým prostorem.

Generující množina

Množina M = \{\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}, \dots, \vec{v_{k}}\} \subseteq V generuje lineární vektorový prostor, jestliže se lineární kombinace všech prvků M rovná prostoru V, tedy \langle M \rangle = V.

Báze

Je-li generující množina prostoru V lineárně nezávislá, jedná se také o bázi prostoru V.

• zápis: \text{báze }A = \{\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}\}

Bázi z generující množiny zjistím tím, že vektory GM zapíšu do sloupců matice a provedu GJEM -> tím zjistím, jestli se nedá některý z vektorů vyjádřit jako LK jiného vektoru (tedy vyjde jako parametr).

Dimenze V

Počet prvků báze V se nazývá dimenze V a značí se dim(V).

Souřadnice v bázi

Jednoznačně určené koeficienty c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n} \in \mathbb{R} LK v = c_{1}\vec{b_{1}}, c_{2}\vec{b_{2}}, \dots, c_{n}\vec{b_{n}} se nazývají souřadnice prvku v v bází B.

• značí se \widehat{v_{B}} = [c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n}]^T

Pořadí prvků v bázi je důležité! Při změně pořadí se změní i pořadí souřadnic:

B_{1} = \{ \vec{b_{1}}, \vec{b_{2}}, \vec{b_{3}} \} \qquad \vec{x}_{B_{1}} = [1, 2, 3]

B_{2} = \{ \vec{b_{2}}, \vec{b_{1}}, \vec{b_{3}} \} \qquad \vec{x}_{B_{2}} = [2, 1, 3]

Souřadnice součtu dvou prvků V jsou součtem souřadnic těchto prvků.

\widehat{(\vec{v_{1}} + \vec{v_{2}})}_{B} = \widehat{\vec{v_{1}}_{B}} + \widehat{\vec{v_{2}}_{B}}

\widehat{(\lambda \cdot\vec{v_{2}})}_{B} = \lambda \cdot \widehat{\vec{v_{2}}_{B}}

Lineární obal

• všechny lineární kombinace zadaných vektorů
• \langle\vec{u}; \vec{v}\rangle = \{ \lambda_{1} \cdot \vec{u} + \lambda_{2} \cdot \vec{v} \}

Operace s podprostory

• Sjednocení u_{1} \cup u_{2}
  • Musí platit:
    • u_{1} \subseteq u_{2}
    • u_{2} \subseteq u_{1}