FAV-ZCU/KIV PPA2/Prednaska09.md

Stromy

• abstraktní datový typ, který podchycuje vztahy mezi prvky
• větví se pouze jedním směrem
• využití:
  • rodokmen, struktura vedení ve firmě, popis trasování paprsku
• ve stromě neexistují cykly
• dá se "pověsit" za nějaký kořen

Části

Vrchol (Node)

• prvky datové struktury
• můžou k nim být přiřazena data
• mají jednoho předka (kromě kořene)
• mohou mít libovolný počet potomků

Hrana (Edge)

• vztah mezi předkem a potomkem
• nikdy neexistuje hrana mezi prvky na stejné úrovni

Kořen (Root)

• jediný vrchol, který nemá předka

List

• vrchol bez potomků

Vnitřní vrchol

• vrchol který není list

Cesta

• posloupnost vrcholů, kde jsou každé dva po sobě následující spojeny hranou

Délka cesty

• počet hran cesty

Hloubka vrcholu

• délka cesty z vrcholu do kořene

Výška (hloubka) stromu

• maximální hloubka vrcholu ve stromě

Druhy stromů

Uspořádaný strom

• potomci mají definované neměnné pořadí

Neuspořádaný strom

• na pořadí potomků nezáleží

Druhy mají vliv na implementaci!

Binární strom

• uspořádaný strom, kde vrchol má dvojici potomků (levý a pravý)
• každý potomek je také binárním stromem

Operace

• vybrání kořene
• přidání potomka danému vrcholu
• zjištění předka daného vrcholu
• zjištění potomků daného vrcholu
• odebrání daného vrcholu ze stromu

Operace se můžou lišit podle druhu stromu (binární, uspořádaný, ...).

Implementace

Implementace binárního stromu polem

• vrcholy ukládáme do pole po jednotlivých patrech
• indexy:
  • kořen má index 1
  • potomci vrcholu s indexem i mají index (2i) a (2i + 1)
  • předek vrcholu s indexem i leží na indexu i/2 (celočíselně)
  • strom o hloubce h má vrcholy s maximálním indexem 2^{h+1} - 1
• reprezentace vrcholu:
  • reprezenntován svým indexem
  • musí mu být přiřazena data, která jsou uložena v poli
• data přiřazená vrcholu:
  • uložená do pole na index vrcholu
  • index 0 neobsazený (jednodušší vztahy)
  • primitivní datové typy
    • určení hodnoty symbolizující nepřítomnost vrcholu
  • reference na instanci třídy
    • nepřítomnost vrcholu reprezentována pomocí null
• výhody:
  • základní operace jsou triviální aritmetické operace
• nevýhody:
  • pouze pro binární stromy
  • musíme předem znát počet prvků
  • alokuje se paměť i přo nepřítomné prvky (nebo referenci)

Pozn.: Úplný binární strom

• pro určitý index k platí:
  • všechny vrcholy s menším indexem existují
  • všechny vrcholy s indexem k a větším neexistují
• pro tento druh je reprezentace polem vhodná
  • je možné pole dynamicky zvětšovat

Implementace binárního stromu spojovou strukturou

• spojovací článek Node
  • <typ> data - data vrcholu
  • Node left, right - levá a pravá hrana
• řeší reprezentaci neexistujícího prvku
• umožňuje uložit vrchol bez dat pomocí data = null
• paměťově úsporné pro částečně zaplněné stromy
• není potřeba znát předem počet prvků
• procházení stromu (path traversal)
  • proces zpracování všech vrcholů stromu v určitém pořadí
  • způsoby procházení
    • přímý průchod: vrchol, levý, pravý
    • vnitřní průchod: levý, vrchol, pravý
    • zpětný průchod: levý, pravý, vrchol
    • po úrovních: postupně se zpracují prvky na dané úrovni
      • snadná implementace frontou
  • implementace
    • přirozené použité rekurze
    • obecná metoda na zpracování vrcholu: process(Node n)
    • zahájení průchodu zavoláním metody preorder/inorder/postorder nad kořenem

Binární vyhledávací strom (BST)

• reprezentuje uspořádanou množinu prvků
• prvky seřazené pomocí klíče - nejjednodušeji int
• strom je pouze implementací, ADT hierarchický není

Operace

• vložení prvku s klíčem
• oderání prvku s klíčem
• zjištění přítomnosti prvku s klíčem
• nalezení největšího a nejmenšího klíče
• vybrání všech prvků v pořadí klíčů

Pracujeme se dvěma datovými typy - typ klíče a hodnoty.

Implementace BST

• binární strom
• každý vrchol má hodnotu a klíč
• klíče lze porovnávat
• definující vlastnost
  • je-li x klíč uzlu n, pak
    • klíče uzlu n.left jsou menší než x
    • klíče uzlu n.right jsou větší než x
  • předpokládáme, že v ADT nejsou dva stejné klíče

Složitost operací:

• h: výška stromu
• hledání, vkládání a ostraňování je \mathcal O(h) v nejhorším případě
• degenerovaný strom:
  • h = N - 1
  • složitosti jsou \Omega(n)
• úplný strom:
  • h = \lceil \log_{2}(n) \rceil
  • složitosti jsou \mathcal O(\log(n))
• očekávatelný případ:
  • vkládané klíče tvoří náhodnou posloupnost
  • průměrná hloubka h = 1.39\log_{2}(n)
  • složitost je tedy \mathcal O(\log(n))