FAV-ZCU/KMA DMA/Prednaska11.md

• Def.: matice A je totálně unimodulární, pokud determinant lib. čtvercové podmatice je 0, +1, -1 (A má prvky $0, \pm1$)
• Věta: incidenční matice M(G) or. grafu G je totálně unimodulární
• Věta (Cauchy-Binet): B matice typu r \times s, pak platí
  • \det(B \cdot B^T) = \sum_{I} \det^2(B_{I}), kde se sčítá přes všechny r-prvkové podmnožiny množiny sloupců B
• Věta: G slabě souvislý or. graf. L_{R} = M_{R} \cdot M_{R}^T, kde M_{R} je redukovaná inc. matice G
  • pak platí, že počet různých koster G = \det L_{R} [L_R je red. Lapl. matice sym. or. G]

Incidenční matice neorientovaných grafů

• prvky M jsou 0, 1 - chápeme jako prvky tělesa \mathbb{Z}_{2}
• řádky M jsou prvky lineárního prostoru \mathbb{Z}_{2}^m nad \mathbb{Z}_{2}
• spec. vektory v \mathbb{Z}_{2}^m jsou LN \iff \exists jejich neprázdná podmnožina s nulovým součtem
• Věta: G neorientovaný graf
  1. hodnost M(G) nad \mathbb{Z}_{2} je n-k \iff má k komponent
  2. G souvislý, pak každých n-1 řádků matice M(G) tvoří LN množinu nad \mathbb{Z}_{2}
  • značení: \text{hod}_{2}(A) \dots hodnost A nad \mathbb{Z}_{2}

Matice sousednosti a počty sledů

• G or. graf, A(G) matice sousednosti
• A(G) = (a_{ij}), G má n vrcholů, A(G) má řád n
• A^o(G) = I_{n}, I_{n} jednotková matice řádu n
• A^k(G) = (a_{ij}^{(k)})
• Věta: G orientovaný graf, k \geq 0 (celé)
  • pak a_{ij}^{(k)} matice A^k(G) je roven počtu $v_{i}v_{j}$-sledů délky přesně k v G

Test nilpotentnosti 0-1-matice

• Tvrzení: or. graf G je acyklický \iff nějaká mocnina matice A(G) je nulová [$\exists , k \geq 0 : A^k(G) = 0$]

Vzdálenost v grafech

• Def.: G or. graf, vzdálenost d(x,y) vrcholu y od x je délka nejkratší xy-cesty v G
  • pokud v G neex. xy-sled, pak d(x,y) = \infty
• analogicky pro neor. grafy
  • d(x,y) = d(y,x)
• Věta: G souvislý neor. graf, pak d(x,y) je metrikou na V(G)
  1. d(x,y) \geq 0, d(x,y) = 0 \iff x = y [pozitivní definitnost]
  2. d(x,y) = d(y,x) [symetrie]
  3. d(x,y) + d(y,z) \geq d(x,z) [trojúhelníková nerovnost]
• v or. grafech neplatí 2)
• Def.: distanční matice or. grafu G s vrcholy v_{1}, \dots, v_{n} je matice řádu n
  • D(G) = (d(v_{i}, v_{j}))^n_{i,j=1}
• Tvrzení: prvek d(v_{i}, v_{j}) distanční matice D(G) je roven nejmenšímu k, pro které a_{ij}^{(k)} \neq 0 a pokud takové k neexistuje, pak d(v_{i}, v_{j}) = \infty

Ohodnocené grafy

• Def.: ohodnocený or. graf (G, w) je or. graf G = (V, E) spolu s funkcí w : E(G) \to (0, +\infty)
  • w(e) \dots váha (ohodnocení) hrany e
• Pozn.: neohodnocené grafy lze (často) považovat jako ohodnocené grafy s ohodnocením 1
• Def.: vážená matice sousednosti ohodnoceného or. grafu (G, w) s vrcholy v_{1}, \dots, v_{n} je matice W(G) = (w_{ij})
  • w_{ij} = \begin{cases} w(v_{i}, v_{j}) \quad (v_{i}, v_{j} \in E), i, j = 1, \dots, n \\ 0 \end{cases}
• Pozn.: k ohodnocenému grafu se přiřadí nezáporná čtvercová matice
  • teorie nezáporných matic [Perrou/Frobenius]
• Def.: minimální cesta z u do v je každá cesta, jejíž váha je minimální
  • vážená vzdálenost d^w(u, v) vrcholu v od u je váha (lib.) minimální cesty z u do v