FAV-ZCU/KMA LAA/8. Vlastní čísla a vlastní vektory.md

Vlastní čísla

• A \cdot \vec{u} = \lambda \cdot \vec{u}
  • \vec{u} \in U \smallsetminus \{o\}
• (\lambda I-A) \cdot \vec{u} = o

Vlastní čísla

1. Vypočítáme determinant matice \det{(\lambda I - A)} -> výsledkem je charakteristický polynom
2. V průběhu si zkusíme vytknout něco s lambdou, např. (\lambda-5)
3. Výsledek zapíšeme ve tvaru (\lambda-5)(\lambda+2)^2 a získáme kořeny polynomu - vlastní čísla
   • (\lambda_{1} = 5, \lambda_{2,3} = -2)

Spektrum matice

• soubor všech vlastních čísel
• značí se Sp(A)

Vlastní vektory

1. Dosadíme vlastní číslo za lambdu
2. Vypočítáme GJEM z matice s dosazenou lambdou
3. Pomocí n-hod(\lambda I-A) zjistíme počet dosazovaných LN vektorů
4. Do vlastního vektoru odzadu dosadíme LN vektory (pokud jen 1, dosadíme nenulové číslo)
5. Dopočítáme pomocí rovnic v matici zbytek souřadnic např.: h_{1} = [2, -1, 1]^T

Pokud nám chybí některé h_{i} (máme vícenásobné vl. číslo ale n-hod(\lambda I-A) vyjde menší), je možné h_3 dopočítat opakováním postupu pro (\lambda I-A)\times x = -h_{2}.

Vlastním vektorem h_{1} = [2, -1, 1] se myslí t\cdot [2, -1, 1], t\in R

Regulární matice T

Matice A a B jsou podobné, jestli existuje matice T taková, aby platilo A = T^{-1}BT.

• pokud je A podobná B, je zároveň B podobná A
• platí tedy TA = BT i TAT^{-1} = B

Pokud jsou matice A a B podobné, mají stejné charakteristické polynomy i spektra.

Jordanův kanonický tvar

1. Na diagonálu dáme jednotlivá vlastní čísla
2. Pokud jsme dopočítávali vlastní vektor pro některé vlastní číslo, je potřeba dát 1 nad diagonálu u Jordanova bloku

Lineární operátor

• lineární zobrazení \mathbb{L} : U \to U