FAV-ZCU/KFY FYI1/Priklad02.md

Zadání

Podél rovnoměrně se otáčející tyče se od jejího upevnění rovnoměrně pohybuje kulička. Určete: parametrické rovnice dráhy kuličky, velikost rychlosti kuličky a její celkové, tečné a normálové zrychlení.

• \omega = \text{konst.} (rotace tyče)
• v_{0} = \text{konst.} (pohyb kuličky podél tyče)
• parametrická rovnice trajektorie kuličky = ?
• velikost rychlosti kuličky v = ?
• celkové ($a = \ ?$), tečné ($a_{t} = \ ?$) a normálové ($a_{n} = \ ?$) zrychlení

• \alpha = \omega \cdot t
• r = v_{0} \cdot z
• r = \sqrt{ v_{x}^2 + v_{y}^2 }

• parametrická rovnice trajektorie kuličky
  • x = \cos \alpha \cdot r = v_{0}\cdot \cos(\omega t)
  • y = \sin \alpha \cdot r = v_{0}\cdot \sin(\omega t)
• umocníme na druhou a sečteme
  • x^2 + y^2 = (v_{0}t)^2 \cdot [\cos^2(\omega t) + \sin^2(\omega t)] = (v_{0}t)^2 \cdot 1
  • x^2 + y^2 = (v_{0}t)^2 ... rovnice rovinné spirály

• \displaystyle v_{x} = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}[v_{0} t \cdot \cos(\omega t)] = v_{0} \cos(\omega t) - v_{0}\omega t \sin(\omega t)
• \displaystyle v_{y} = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}[v_{0}t \cdot \sin(\omega t)] = v_{0} \sin(\omega t) + v_{0}\omega t \cos(\omega t)

Výpočet

$\displaystyle r = \sqrt{ [v_{0} \cos(\omega t) - v_{0}\omega t \sin(\omega t)]^2 + [v_{0} \sin(\omega t) + v_{0}\omega t \cos(\omega t)]^2 } = v_{0} \cdot \sqrt{ 1 + (\omega t)^2 }$ $\displaystyle a_x = \frac{dv_{x}}{dt} = \frac{d}{dt}[v_{0} \cos(\omega t) - v_{0}\omega t \sin(\omega t)] = \dots = -2 \cdot v_{0} \cdot \omega \sin(\omega t) - v_{0} \cdot \omega^2 t \cos(\omega t)$ \displaystyle a_{y} = \frac{dv_{y}}{dt} = \frac{d}{dt}[v_{0} \sin(\omega t) + v_{0}\omega t \cos(\omega t)] = \dots = 2 \cdot v_{0} \cdot \omega \cos(\omega t) - v_{0} \cdot \omega^2 t \sin(\omega t)

Výsledek

\displaystyle a = \sqrt{ a_{t}^2 + a_{n}^2 } = \sqrt{ 4 v_{0}^2 \cdot \omega^2 + (v_{0} \cdot \omega^2 t)^2 } = v_{0} \cdot \omega \cdot \sqrt{ 4 + (\omega t)^2 }

$\displaystyle a_{t} = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}[ v_{0} \cdot \sqrt{ 1 + (\omega t)^2 } ] = v_{0} \cdot \frac{1}{\cancel{2}}[1 + (\omega t)^2]^\frac{-1}{2} \cdot \cancel{2}(\omega t) \cdot \omega = \frac{v_{0} \cdot \omega^2 \cdot t}{\sqrt{ 1+(\omega t)^2 }}$ \displaystyle a_{n} = \frac{v^2}{R} \quad R neznáme, ale známe \displaystyle a = \sqrt{ a^2_{t} + a^2_{n} }

\displaystyle a_{n} = \sqrt{ a^2 - a^2_{t} } = \sqrt{ v_{0}^2 \cdot \omega^2 \cdot [4 + (\omega t)^2] - \frac{v_{0}^2 \cdot \omega^4 \cdot t^2}{1 + (\omega t)^2} } = \dots = \frac{v_{0} \cdot \omega \cdot [2 + (\omega t)^2]}{\sqrt{ 1 + (\omega t)^2 }}