FAV-ZCU/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/03. Ekvivalence a rozklad množiny, Stirlingova čísla.md

Ekvivalence a rozklad množiny

Ekvivalence

• Ekvivalence na množině X je relace R na množině X, která je reflexivní, symetrická a tranzitivní.

Třídy rozkladu

• Nechť X a I jsou množiny. (Neuspořádaný) soubor podmnožin X_{i}: i \in I množiny X je rozklad množiny X, pokud množiny X_{i} jsou neprázdné, navzájem disjunktní a jejich sjednocením je celá množina X. Množiny X_{i} nazýváme třídy rozkladu X_{i}: i \in I.

• Soubor S = \{\{1, 3\}, \{6\}, \{2, 4, 5\}\}, je například rozkladem množiny X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}, zatímco soubory \{\{1, 2, 3\}, \{1, 4, 5\}, \{1, 5, 6\}\} a \{\{1, 2\}, \{3, 4, 5\}\} nikoli. V rozkladu nezáleží na pořadí tříd.

Stirlingova čísla

Počet rozkladů n-prvkové množiny

• počet prvků rozkladu k
• počet všech takových rozkladů?
  • S(n, k) \qquad |x| = n
  • k = n \qquad S(n,n) = 1, S(n,1) = 1
  • S(n,k) = S(n-1,k-1) + k\cdot S(n-1,k), z \in X
    • Stirlingova čísla (2. druhu)