Přidání 1., 3. a 6. otázky ke zkoušce z DMA

KMA DMA/Otázky ke zkoušce/01. Relace, zobrazení a funkce.md

@@ -0,0 +1,70 @@
+# Relace
+
+Mějme dvě množiny $X, Y$ a představme si, že každý prvek $x \in X$ může (a nemusí) být  ve vztahu $R$ s libovolným počtem prvků $y \in Y$. Na tento vztah nejsou kladeny žádné další podmínky.
+- tento vztah lze popsat jako výčet všech dvojic $(x, y)$ prvků, které spolu jsou ve vztahu $R$
+
+Jelikož je kartézský součin definován jako **množina** všech **uspořádaných dvojic** s prvním prvek z množiny $X$ a druhým z množiny $Y$, definujeme relaci takto:
+
+### Definice
+
+Relace z množiny $X$ do množiny $Y$ je libovolná podmnožina $R$ kartézského součinu $X \times Y$.
+
+Jedná se o relaci **binární**, jelikož určuje vztah mezi dvěma prvky.
+- definici můžeme zobecnit na **n-ární relace** (vztahy mezi n-ticemi prvků)
+
+### Obory
+
+- **levý**: $L(R) = \{ x \in X: \text{existuje nějaké } y \in Y \text{ tak, že } x \, R \, y \}$
+	- všechny prvky $X$, které jsou v relaci s nějakým prvkem $Y$
+- **pravý**: $P(R) = \{ y \in Y: \text{existuje nějaké } x \in X \text{ tak, že } x \, R \, y \}$
+	- všechny prvky $Y$, které jsou v relaci s nějakým prvkem $X$
+
+### Znázornění relací
+
+- pomocí grafu
+	- množina $X$ vlevo, množina $Y$ vpravo
+	- dva body jsou spojeny čarou, pokud jsou prvky v relaci R
+- pomocí kartézského součinu
+	- matice $X \times Y$, kde na horizontální ose jsou prvky $X$ a na vertikální ose $Y$
+	- body jsou vybarveny pouze na místech matice, kde jsou prvky v relaci R
+
+### Vlastnosti relací
+
+Relace $R$ na množině $X$ je
+- **reflexivní**, pokud pro každé $x \in X$ platí $x \, R \, x$,
+- **symetrická**, pokud pro každé $x, y \in X$ platí
+	- $x \, R \, y \implies y \, R \, x$,
+- **slabě antisymetrická**, pokud pro každé $x, y \in X$ platí
+	- $x \, R \, y$ a $y \, R \, x \implies x = y$,
+- **tranzitivní**, pokud pro každé $x, y, z \in X$ platí
+	- $x \, R \, y$ a $y \, R \, z \implies x \, R \, z$,
+- **ekvivalentní**, pokud je reflexivní, symetrická a tranzitivní,
+- **tolerantní**, pokud je reflexivní a symetrická.
+
+### Skládání relací
+
+**Definice**
+- Nechť $R$ je relace z množiny $X$ do množiny $Y$ a $S$ je relace z množiny $Y$ do množiny $Z$. Pak **složení relací** $R$ a $S$ je relace $R \circ S \subset X \times Z$ z množiny $X$ do množiny $Z$, definováno takto
+- $(x, z) \in R \circ S$, právě když existuje $y \in Y$ tak, že $x \, R \, y$ a $y \, S \, z$,
+- kde $x \in X$ a $z \in Z$.
+
+Skládání relací je možné pouze, pokud relace $R$ končí ve množině, kde $S$ začíná.
+
+Věta o asociativitě skládání relací
+- Nechť $R \subset X \times Y, S \subset Y \times Z$ a $T \subset Z \times W$ jsou relace. Potom $R \circ (S \circ T) = (R \circ S) \circ T$.
+
+### Inverzní relace
+
+**Definice**
+- Relace **inverzní** k relaci $R \subset X \times Y$ je relace $R^{-1} \subset Y \times X$, definovaná vztahem
+- $y \, R^{-1} \, x$ právě když $x \, R \, y$ pro $x \in X, y \in Y$.
+
+# Zobrazení, funkce
+
+**Zobrazení** (nebo také **funkce**) množiny $X$ do množiny $Y$ je **relace** $f \subset X \times Y$, pro kterou platí, že pro každý prvek $x \in X$ existuje právě jeden prvek $y \in X$ tak, že $(x, y) \in f$. Skutečnost, že $f$ je zobrazením $X$ do $Y$, zapisujeme jako $f: X \to Y$.
+
+**Druhy zobrazení**
+- Zobrazení $f: X \to Y$ je
+	- **prosté**, pokud každé $y \in Y$ má nejvýše jeden vzor při zobrazení $f$,
+	- **na**, pokud každé $y \in Y$ má alespoň jeden vzor při zobrazení $f$,
+	- **vzájemně jednoznačné** (nebo **bijekce**), pokud je prosté a na.

KMA DMA/Otázky ke zkoušce/03. Ekvivalence a rozklad množiny, Stirlingova čísla.md

@@ -0,0 +1,18 @@
+# Ekvivalence a rozklad množiny
+
+**Ekvivalence**
+- Ekvivalence na množině $X$ je relace $R$ na množině $X$, která je reflexivní, symetrická a tranzitivní.
+
+**Třídy rozkladu**
+- Nechť $X$ a $I$ jsou množiny. (Neuspořádaný) soubor podmnožin $X_{i}: i \in I$ množiny $X$ je **rozklad množiny** $X$, pokud množiny $X_{i}$ jsou neprázdné, navzájem disjunktní a jejich sjednocením je celá množina $X$. Množiny $X_{i}$ nazýváme **třídy rozkladu** $X_{i}: i \in I$.
++ Soubor $S = \{\{1, 3\}, \{6\}, \{2, 4, 5\}\}$, je například rozkladem množiny $X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, zatímco soubory $\{\{1, 2, 3\}, \{1, 4, 5\}, \{1, 5, 6\}\}$ a $\{\{1, 2\}, \{3, 4, 5\}\}$ nikoli. V rozkladu nezáleží na pořadí tříd.
+
+# Stirlingova čísla
+
+**Počet rozkladů n-prvkové množiny**
+- počet prvků rozkladu $k$
+- počet všech takových rozkladů?
+	- $S(n, k) \qquad |x| = n$
+	- $k = n \qquad S(n,n) = 1, S(n,1) = 1$
+	- $S(n,k) = S(n-1,k-1) + k\cdot S(n-1,k), z \in X$
+		- Stirlingova čísla (2. druhu)

KMA DMA/Otázky ke zkoušce/06. Grupy a tělesa.md

@@ -0,0 +1,18 @@
+# Grupa
+
+**Grupa** $G$ je **množina** $M$ spolu s **asociativní binární operací** $*$, ve které existuje
+1) neutrální prvek
+	- $\exists \, e \in G : \forall \, x \in G : x \circ e = x = e \circ x$
+2) prvek $x^{-1}$ inverzní ke každému prvku
+	- $\forall \, x \in G : \exists \, x^{-1} \in G : x \circ x^{-1} = e$
+
+Pokud je **operace** $*$ navíc **komutativní**, jedná se o **komutativní** nebo **abelovskou grupu**.
+
+Grupa se značí jako $G(M, *)$.
+
+# Těleso
+
+Množina $M$ spolu s operací $\oplus$ tvoří komutativní grupu s neutrálním prvkem $0$, a nechť na množině $M - \{0\}$ je určena další binární operace $\otimes$. Potom $(M, \oplus, \otimes)$ je těleso, pokud $(M - \{0\}, \otimes)$ je rovněž komutativní grupa a navíc platí distributivní zákon:
+- $x \otimes (y \oplus z) = (x \otimes y) \oplus (x \otimes z)$ pro každé $x, y, z \in M$.
+
+Mezi tělesa patří **množiny** všech racionálních, reálných a komplexních čísel, vždy se standardními operacemi **sčítání** a **násobení**.