Relace

Mějme dvě množiny X, Y a představme si, že každý prvek x \in X může (a nemusí) být ve vztahu R s libovolným počtem prvků y \in Y. Na tento vztah nejsou kladeny žádné další podmínky.

tento vztah lze popsat jako výčet všech dvojic (x, y) prvků, které spolu jsou ve vztahu R

Jelikož je kartézský součin definován jako množina všech uspořádaných dvojic s prvním prvek z množiny X a druhým z množiny Y, definujeme relaci takto:

Definice

Relace z množiny X do množiny Y je libovolná podmnožina R kartézského součinu X \times Y.

Jedná se o relaci binární, jelikož určuje vztah mezi dvěma prvky.

definici můžeme zobecnit na n-ární relace (vztahy mezi n-ticemi prvků)

Obory

levý: L(R) = \{ x \in X: \text{existuje nějaké } y \in Y \text{ tak, že } x \, R \, y \}
- všechny prvky X, které jsou v relaci s nějakým prvkem Y
pravý: P(R) = \{ y \in Y: \text{existuje nějaké } x \in X \text{ tak, že } x \, R \, y \}
- všechny prvky Y, které jsou v relaci s nějakým prvkem X

Znázornění relací

pomocí grafu
- množina X vlevo, množina Y vpravo
- dva body jsou spojeny čarou, pokud jsou prvky v relaci R
pomocí kartézského součinu
- matice X \times Y, kde na horizontální ose jsou prvky X a na vertikální ose Y
- body jsou vybarveny pouze na místech matice, kde jsou prvky v relaci R

Vlastnosti relací

Relace R na množině X je

reflexivní, pokud pro každé x \in X platí x \, R \, x,
symetrická, pokud pro každé x, y \in X platí
- x \, R \, y \implies y \, R \, x,
slabě antisymetrická, pokud pro každé x, y \in X platí
- x \, R \, y a y \, R \, x \implies x = y,
tranzitivní, pokud pro každé x, y, z \in X platí
- x \, R \, y a y \, R \, z \implies x \, R \, z,
ekvivalentní, pokud je reflexivní, symetrická a tranzitivní,
tolerantní, pokud je reflexivní a symetrická.

Skládání relací

Definice

Nechť R je relace z množiny X do množiny Y a S je relace z množiny Y do množiny Z. Pak složení relací R a S je relace R \circ S \subset X \times Z z množiny X do množiny Z, definováno takto
(x, z) \in R \circ S, právě když existuje y \in Y tak, že x \, R \, y a y \, S \, z,
kde x \in X a z \in Z.

Skládání relací je možné pouze, pokud relace R končí ve množině, kde S začíná.

Věta o asociativitě skládání relací

Nechť R \subset X \times Y, S \subset Y \times Z a T \subset Z \times W jsou relace. Potom R \circ (S \circ T) = (R \circ S) \circ T.

Inverzní relace

Definice

Relace inverzní k relaci R \subset X \times Y je relace R^{-1} \subset Y \times X, definovaná vztahem
y \, R^{-1} \, x právě když x \, R \, y pro x \in X, y \in Y.

Zobrazení, funkce

Zobrazení (nebo také funkce) množiny X do množiny Y je relace f \subset X \times Y, pro kterou platí, že pro každý prvek x \in X existuje právě jeden prvek y \in X tak, že (x, y) \in f. Skutečnost, že f je zobrazením X do Y, zapisujeme jako f: X \to Y.

Druhy zobrazení

Zobrazení f: X \to Y je
- prosté, pokud každé y \in Y má nejvýše jeden vzor při zobrazení f,
- na, pokud každé y \in Y má alespoň jeden vzor při zobrazení f,
- vzájemně jednoznačné (nebo bijekce), pokud je prosté a na.

3.5 KiB Raw Blame History