70 lines
3.5 KiB
Markdown
70 lines
3.5 KiB
Markdown
# Relace
|
|
|
|
Mějme dvě množiny $X, Y$ a představme si, že každý prvek $x \in X$ může (a nemusí) být ve vztahu $R$ s libovolným počtem prvků $y \in Y$. Na tento vztah nejsou kladeny žádné další podmínky.
|
|
- tento vztah lze popsat jako výčet všech dvojic $(x, y)$ prvků, které spolu jsou ve vztahu $R$
|
|
|
|
Jelikož je kartézský součin definován jako **množina** všech **uspořádaných dvojic** s prvním prvek z množiny $X$ a druhým z množiny $Y$, definujeme relaci takto:
|
|
|
|
### Definice
|
|
|
|
Relace z množiny $X$ do množiny $Y$ je libovolná podmnožina $R$ kartézského součinu $X \times Y$.
|
|
|
|
Jedná se o relaci **binární**, jelikož určuje vztah mezi dvěma prvky.
|
|
- definici můžeme zobecnit na **n-ární relace** (vztahy mezi n-ticemi prvků)
|
|
|
|
### Obory
|
|
|
|
- **levý**: $L(R) = \{ x \in X: \text{existuje nějaké } y \in Y \text{ tak, že } x \, R \, y \}$
|
|
- všechny prvky $X$, které jsou v relaci s nějakým prvkem $Y$
|
|
- **pravý**: $P(R) = \{ y \in Y: \text{existuje nějaké } x \in X \text{ tak, že } x \, R \, y \}$
|
|
- všechny prvky $Y$, které jsou v relaci s nějakým prvkem $X$
|
|
|
|
### Znázornění relací
|
|
|
|
- pomocí grafu
|
|
- množina $X$ vlevo, množina $Y$ vpravo
|
|
- dva body jsou spojeny čarou, pokud jsou prvky v relaci R
|
|
- pomocí kartézského součinu
|
|
- matice $X \times Y$, kde na horizontální ose jsou prvky $X$ a na vertikální ose $Y$
|
|
- body jsou vybarveny pouze na místech matice, kde jsou prvky v relaci R
|
|
|
|
### Vlastnosti relací
|
|
|
|
Relace $R$ na množině $X$ je
|
|
- **reflexivní**, pokud pro každé $x \in X$ platí $x \, R \, x$,
|
|
- **symetrická**, pokud pro každé $x, y \in X$ platí
|
|
- $x \, R \, y \implies y \, R \, x$,
|
|
- **slabě antisymetrická**, pokud pro každé $x, y \in X$ platí
|
|
- $x \, R \, y$ a $y \, R \, x \implies x = y$,
|
|
- **tranzitivní**, pokud pro každé $x, y, z \in X$ platí
|
|
- $x \, R \, y$ a $y \, R \, z \implies x \, R \, z$,
|
|
- **ekvivalentní**, pokud je reflexivní, symetrická a tranzitivní,
|
|
- **tolerantní**, pokud je reflexivní a symetrická.
|
|
|
|
### Skládání relací
|
|
|
|
**Definice**
|
|
- Nechť $R$ je relace z množiny $X$ do množiny $Y$ a $S$ je relace z množiny $Y$ do množiny $Z$. Pak **složení relací** $R$ a $S$ je relace $R \circ S \subset X \times Z$ z množiny $X$ do množiny $Z$, definováno takto
|
|
- $(x, z) \in R \circ S$, právě když existuje $y \in Y$ tak, že $x \, R \, y$ a $y \, S \, z$,
|
|
- kde $x \in X$ a $z \in Z$.
|
|
|
|
Skládání relací je možné pouze, pokud relace $R$ končí ve množině, kde $S$ začíná.
|
|
|
|
Věta o asociativitě skládání relací
|
|
- Nechť $R \subset X \times Y, S \subset Y \times Z$ a $T \subset Z \times W$ jsou relace. Potom $R \circ (S \circ T) = (R \circ S) \circ T$.
|
|
|
|
### Inverzní relace
|
|
|
|
**Definice**
|
|
- Relace **inverzní** k relaci $R \subset X \times Y$ je relace $R^{-1} \subset Y \times X$, definovaná vztahem
|
|
- $y \, R^{-1} \, x$ právě když $x \, R \, y$ pro $x \in X, y \in Y$.
|
|
|
|
# Zobrazení, funkce
|
|
|
|
**Zobrazení** (nebo také **funkce**) množiny $X$ do množiny $Y$ je **relace** $f \subset X \times Y$, pro kterou platí, že pro každý prvek $x \in X$ existuje právě jeden prvek $y \in X$ tak, že $(x, y) \in f$. Skutečnost, že $f$ je zobrazením $X$ do $Y$, zapisujeme jako $f: X \to Y$.
|
|
|
|
**Druhy zobrazení**
|
|
- Zobrazení $f: X \to Y$ je
|
|
- **prosté**, pokud každé $y \in Y$ má nejvýše jeden vzor při zobrazení $f$,
|
|
- **na**, pokud každé $y \in Y$ má alespoň jeden vzor při zobrazení $f$,
|
|
- **vzájemně jednoznačné** (nebo **bijekce**), pokud je prosté a na. |