FAV-ZCU/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/06. Grupy a tělesa.md

Grupa

Grupa G je množina M spolu s asociativní binární operací *, ve které existuje

1. neutrální prvek
   • \exists \, e \in G : \forall \, x \in G : x \circ e = x = e \circ x
2. prvek x^{-1} inverzní ke každému prvku
   • \forall \, x \in G : \exists \, x^{-1} \in G : x \circ x^{-1} = e

Pokud je operace * navíc komutativní, jedná se o komutativní nebo abelovskou grupu.

Grupa se značí jako G(M, *).

Těleso

Množina M spolu s operací \oplus tvoří komutativní grupu s neutrálním prvkem 0, a nechť na množině M - \{0\} je určena další binární operace \otimes. Potom (M, \oplus, \otimes) je těleso, pokud (M - \{0\}, \otimes) je rovněž komutativní grupa a navíc platí distributivní zákon:

• x \otimes (y \oplus z) = (x \otimes y) \oplus (x \otimes z) pro každé x, y, z \in M.

Mezi tělesa patří množiny všech racionálních, reálných a komplexních čísel, vždy se standardními operacemi sčítání a násobení.