32 lines
1 KiB
Markdown
32 lines
1 KiB
Markdown
### Zadání
|
|
|
|
Vypočítejte **moment setrvačnosti homogenního válce** o poloměru **R** a hmotnosti **m** vzhledem k **rotační ose symetrie**.
|
|
|
|
- homogenní válec $\to \rho = \text{konst.}$ (hustota)
|
|
- poloměr $R$
|
|
- hmotnost $m$
|
|
- moment setrvačnosti $J = \, ?$
|
|
+ tloušťka stěny $dr$
|
|
+ poloměr trubky $r$
|
|
+ délka válce $l$
|
|
|
|
|
|
|
|
### Výpočet
|
|
|
|
- $J = \int dJ = \int_{m} r^2 \cdot dm$
|
|
- $dm$ - kolmá vzdálenost rotace od osy rotace
|
|
- $\rho = \frac{dm}{dV} \implies dm = \rho \cdot dV$
|
|
- $dV$ - diferenciální objem válce
|
|
- $dV = dS \cdot l = 2\pi r \cdot dr \cdot l$
|
|
- $dS$ - diferenciální plocha boční stěny válce
|
|
- $dS = 2\pi r \cdot dr$
|
|
|
|
$J = \int_{m} r^2 \cdot dm = \int_{V} r^2 \cdot \rho \cdot dV = \int_{0}^{R} r^2 \cdot \rho \cdot 2\pi r \cdot l \cdot dr = \pi \cdot l \cdot \rho \cdot 2\frac{R^4}{4}$
|
|
|
|
### Výsledek
|
|
|
|
$J = \frac{1}{2} \pi \cdot R^2 \cdot l \cdot \rho \cdot R^2 = \frac{1}{2}m \cdot R^2$
|
|
- $S = \pi \cdot R^2$ - obsah
|
|
- $V = S \cdot l$ - objem
|
|
- $m = V \cdot \rho$ - hmotnost |