FAV-ZCU/KMA LAA/3. Lineární vektorové prostory.md

# Lineární vektorové prostory

Příklady:

| zápis      | typ                                         |
| ---------- | ------------------------------------------- |
| $R^2, R^3$ | geometrické vektory o 2, resp. 3 složkách   |
| $R^n$      | n-tice reálných čísel (aritmetické vektory) |
| $M_{m,n}$  | všechny matice typu m/n (nad $R$, nad $C$)  |
| $P_n$      | všechny polynomy stupně nejvýše n           |
| $C(a,b)$   | všechny funkce spojité na $<a, b>$          |

Vektorový prostor V nad tělesem K:
- sčítání: $V + V \to V$
- násobení: $K \times V \to V$

| typ | pro všechna                                       | platí                                                           |
| --- | ------------------------------------------------- | --------------------------------------------------------------- |
| S   | $\forall \vec{u}, \vec{v} \in V$                  | $\vec{u} + \vec{v} = \vec{w}$                                   |
| S   | $\forall \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \in V$         | $\vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}) = (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w}$ |
| S   | $\exists \vec{o} \in V : \forall \vec{u} \in V$   | $\vec{u} + \vec{o} = \vec{u}$                                   |
| S   | $\forall \vec{u} \in V \ \ \exists \vec{v} \in V$ | $\vec{u} + \vec{v} = \vec{o}$                                   |
| N   | $\forall \vec{u} \in V, \forall a, b \in K$       | $a \times (b \times \vec{u}) = (a \times b) \times \vec{u}$     |
| N   | $\forall \vec{u} \in V$                           | $1 \times \vec{u} = \vec{u}$                                    |
| D   | $\forall \vec{u} \in V, \forall a, b \in K$       | $(a + b) \times \vec{u} = a\vec{u} + b\vec{u}$                  |
| D   | $\forall \vec{u}, \vec{v} \in V, \forall a \in K$ | $a \times (\vec{u} + \vec{v}) = a\vec{u} + a\vec{v}$            |

### Podprostor

Máme lineární vektorový prostor $V$ a jeho podprostor $U \subset V$, jestliže
1) pro každé $\vec{u}, \vec{v} \in U$ je $\vec{u} + \vec{v} \in U$
2) pro každé $\vec{u} \in U$ a pro každé $a \in K$ je $a \cdot \vec{u} \in U$
	- vyplývá, že v podprostoru $U$ bude vždy i nulový vektor ($a = 0$)

Každý podprostor vektorového prostoru je také vektorovým prostorem.

### Generující množina

Množina $M = \{\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}, \dots, \vec{v_{k}}\} \subseteq V$ generuje lineární vektorový prostor, jestliže se lineární kombinace všech prvků M rovná prostoru V, tedy $\langle M \rangle = V$. 

### Báze

Je-li generující množina prostoru V lineárně nezávislá, jedná se také o bázi prostoru V.
- zápis: $\text{báze }A = \{\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}\}$

Bázi z generující množiny zjistím tím, že vektory GM zapíšu do sloupců matice a provedu GJEM -> tím zjistím, jestli se nedá některý z vektorů vyjádřit jako LK jiného vektoru (tedy vyjde jako parametr).

#### Dimenze V

Počet prvků báze V se nazývá **dimenze V** a značí se $dim(V)$.

#### Souřadnice v bázi

Jednoznačně určené koeficienty $c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n} \in \mathbb{R}$ LK $v = c_{1}\vec{b_{1}}, c_{2}\vec{b_{2}}, \dots, c_{n}\vec{b_{n}}$ se nazývají **souřadnice prvku v** v bází B.
- značí se $\widehat{v_{B}} = [c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n}]^T$

Pořadí prvků v bázi je důležité! Při změně pořadí se změní i pořadí souřadnic:

$$B_{1} = \{ \vec{b_{1}}, \vec{b_{2}}, \vec{b_{3}} \} \qquad \vec{x}_{B_{1}} = [1, 2, 3]$$
$$B_{2} = \{ \vec{b_{2}}, \vec{b_{1}}, \vec{b_{3}} \} \qquad \vec{x}_{B_{2}} = [2, 1, 3]$$

Souřadnice součtu dvou prvků V jsou součtem souřadnic těchto prvků. 

$$\widehat{(\vec{v_{1}} + \vec{v_{2}})}_{B} = \widehat{\vec{v_{1}}_{B}} + \widehat{\vec{v_{2}}_{B}}$$
$$\widehat{(\lambda \cdot\vec{v_{2}})}_{B} = \lambda \cdot \widehat{\vec{v_{2}}_{B}}$$


### Lineární obal

- všechny lineární kombinace zadaných vektorů
- $\langle\vec{u}; \vec{v}\rangle = \{ \lambda_{1} \cdot \vec{u} + \lambda_{2} \cdot \vec{v} \}$

### Operace s podprostory

- Sjednocení $u_{1} \cup u_{2}$
	- Musí platit:
		- $u_{1} \subseteq u_{2}$
		- $u_{2} \subseteq u_{1}$