36 lines
2.7 KiB
Markdown
36 lines
2.7 KiB
Markdown
|
# Booleova algebra
|
||
|
|
|
||
|
|
**Distributivní komplementární svaz** se nazývá **Booleův svaz** nebo **Booleova algebra**.
|
||
|
|
|
||
|
|
Operace spojení $\wedge$ se značí symbolem $+$, operace průsek symbolem $\cdot$.
|
||
|
|
|
||
|
|
## Booleovský kalkulus
|
||
|
|
|
||
|
|
Nechť $X$ je Booleova algebra, $a, b, c \in X$. Potom platí:
|
||
|
|
|
||
|
|
| | spojení | průsek | vlastnost |
|
||
|
|
| --- | ---------------------------------------------- | ----------------------------------------------- | ------------------- |
|
||
|
|
| S1 | $a+a=a$ | $a\cdot a=a$ | idempotentnost |
|
||
|
|
| S2 | $a+b=b+a$ | $a\cdot b=b\cdot a$ | komutativita |
|
||
|
|
| S3 | $a+(b+c)=(a+b)+c$ | $a\cdot (b\cdot c) = (a\cdot b)\cdot c$ | asociativita |
|
||
|
|
| S4 | $a+(a\cdot b) = a$ | $a\cdot(a+b)=a$ | absorbce |
|
||
|
|
| D | $a\cdot(b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ | $a+(b\cdot c)=(a+b)\cdot(a+c)$ | distributivita |
|
||
|
|
| N1 | $a+0=a$ | $a\cdot1=a$ | neutrální prvky |
|
||
|
|
| N2 | $a+1=1$ | $a\cdot0=0$ | neutrální prvky |
|
||
|
|
| K1 | $\overline 0 = 1$ | $\overline 1 = 0$ | komplementy |
|
||
|
|
| K2 | $a + \overline a = 1$ | $a \cdot \overline a = 0$ | komplementarita |
|
||
|
|
| K3 | $\overline{(\overline a)} = a$ | | involutornost |
|
||
|
|
| K4 | $\overline{a+b}=\overline a \cdot \overline b$ | $\overline{a\cdot b}=\overline a + \overline b$ | De Morganovy zákony |
|
||
|
|
|
||
|
|
## Atom
|
||
|
|
|
||
|
|
Nechť $X$ je Booleova algebra. Nenulový prvek $a \in X$ takový, že pro každý prvek $x \in X, x\neq a$ platí $x \wedge a = 0$ nebo $x \wedge a = a$, se nazývá atom algebry $X$.
|
||
|
|
|
||
|
|
Atomy existují v každé Booleově algebře. Existovat nemusí pouze v nekonečných Booleových algebrách.
|
||
|
|
|
||
|
|
Nechť $X$ je Booleova algebra, $x \in X$. Potom existují prvky $y, z \in X$ takové, že $y\neq x, z\neq x,y \vee z = x$ právě tehdy, když $x$ není ani nulový prvek ani atom $X$.
|
||
|
|
|
||
|
|
Nechť $X$ je konečná Booleova algebra a $x \in X$ je libovolný nenulový prvek, potom platí, že
|
||
|
|
- $x = a_{1} \vee a_{2} \vee \dots \vee a_{k}$,
|
||
|
|
|
||
|
|
kde $a_{1}, \dots, a_{k}$ jsou všechny atomy $X$, pro které $a_{i} \leq x, i =1, \dots, k$.
|