2.7 KiB
Booleova algebra
Distributivní komplementární svaz se nazývá Booleův svaz nebo Booleova algebra.
Operace spojení \wedge se značí symbolem +, operace průsek symbolem \cdot.
Booleovský kalkulus
Nechť X je Booleova algebra, a, b, c \in X. Potom platí:
| spojení | průsek | vlastnost | |
|---|---|---|---|
| S1 | a+a=a |
a\cdot a=a |
idempotentnost |
| S2 | a+b=b+a |
a\cdot b=b\cdot a |
komutativita |
| S3 | a+(b+c)=(a+b)+c |
a\cdot (b\cdot c) = (a\cdot b)\cdot c |
asociativita |
| S4 | a+(a\cdot b) = a |
a\cdot(a+b)=a |
absorbce |
| D | a\cdot(b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c) |
a+(b\cdot c)=(a+b)\cdot(a+c) |
distributivita |
| N1 | a+0=a |
a\cdot1=a |
neutrální prvky |
| N2 | a+1=1 |
a\cdot0=0 |
neutrální prvky |
| K1 | \overline 0 = 1 |
\overline 1 = 0 |
komplementy |
| K2 | a + \overline a = 1 |
a \cdot \overline a = 0 |
komplementarita |
| K3 | \overline{(\overline a)} = a |
involutornost | |
| K4 | \overline{a+b}=\overline a \cdot \overline b |
\overline{a\cdot b}=\overline a + \overline b |
De Morganovy zákony |
Atom
Nechť X je Booleova algebra. Nenulový prvek a \in X takový, že pro každý prvek x \in X, x\neq a platí x \wedge a = 0 nebo x \wedge a = a, se nazývá atom algebry X.
Atomy existují v každé Booleově algebře. Existovat nemusí pouze v nekonečných Booleových algebrách.
Nechť X je Booleova algebra, x \in X. Potom existují prvky y, z \in X takové, že y\neq x, z\neq x,y \vee z = x právě tehdy, když x není ani nulový prvek ani atom X.
Nechť X je konečná Booleova algebra a x \in X je libovolný nenulový prvek, potom platí, že
x = a_{1} \vee a_{2} \vee \dots \vee a_{k},
kde a_{1}, \dots, a_{k} jsou všechny atomy X, pro které a_{i} \leq x, i =1, \dots, k.