Přidání 9., 10. a 12. otázky ke zkoušce z DMA

KMA DMA/Otázky ke zkoušce/09. Svazy.md

@@ -0,0 +1,65 @@
+# Svazy
+
+Svaz je **uspořádaná množiny** $(X, \leq)$, ve které existuje **supremum** i **infimum** pro **libovolnou dvojici prvků**.
+
+Pro libovolné dva prvky $a, b$ svazu $(X, \leq)$ platí
+- $a \leq b$ právě když $a \vee b = b$ právě když $a \wedge b = a$.
+
+## Princip duality
+
+Když v libovolném pravdivém tvrzení prohodíme průsek a spojení (a uspořádání nahradíme inverzním), dostaneme opět pravdivé tvrzení.
+
+## Operace
+
+**Supremum**
+- značíme $x \vee y$
+- největší dolní závora obou prvků
+- spojení (sjednocení) dvou množin
+
+**Infimum**
+- značíme $x \wedge y$
+- nejmenší horní závora obou prvků
+- průnik dvou množin
+
+Mejmě svaz $X$ a $x, y, z \in X$. Potom platí:
+
+| supremum                                | infimum                                         | vlastnost      |
+| --------------------------------------- | ----------------------------------------------- | -------------- |
+| $x \vee x = x$                          | $x \wedge x = x$                                | idempotentnost |
+| $x \vee y = y \vee x$                   | $x \wedge y = y \wedge x$                       | komutativita   |
+| $x \vee (y \vee z) = (x \vee y) \vee z$ | $x \wedge (y \wedge z) = (x \wedge y) \wedge z$ | asociativita   |
+| $x \vee (y \wedge x) = x$               | $x \wedge (y \vee x) = x$                       | absorbce       | 
+
+## Distributivní svaz
+
+**Definice**
+- Řekneme, že svaz $(X, \leq)$ je distributivní, jestliže $\forall \, x, y, z \in X$ je $x \wedge (y \vee z) = (x \vee y) \wedge (x \vee z)$.
+
+**Birkhoffovo kritérium distributivity**
+- Svaz $(X, \leq)$ je distributivní právě když neobsahuje jako podsvaz $X_{1}$ ani $X_{2}$.
+
+![[_assets/distributivni_svaz.png]]
+
+## Podsvaz
+
+Nechť $(X, \leq)$ je svaz a $Y \subset X$. Řekneme, že POSET $(Y, \leq)$ je podsvazem svazu $(X, \leq)$, jestliže operace spojení a průseku v $Y$ jsou zúženími operací spojení a průseku v $X$.
+
+## Konečný svaz
+
+Je-li $(X, \leq)$ konečný svaz (tj. $|X|$ je konečný), potom v $X$ existuje nejmenší i největší prvek.
+- **největší prvek** značen jako **1**
+- **nejmenší prvek** značen jako **0**
+
+Jestliže ve svazu $X$ existují prvky 1 a 0, potom $\forall \, x \in X$ je $x \vee 0 = x$ a $x \wedge 1 = x$.
+
+## Komplementární svaz
+
+Nechť $(X, \leq)$ je svaz s prvky 0 a 1, nechť $x \in X$. Prvek $\overline x$, pro který platí $x \vee \overline x = 1$ a $x \wedge \overline x = 0$, se nazývá **doplněk** (**komplement**) prvku $x$. Svaz s prvky 0 a 1, v němž $\forall \, x \in X : \exists \, \overline x$, se nazývá **komplementární svaz**.
+
+V **distributivním komplementárním svazu** má každý prvek **práve jeden doplněk**. Takový svaz nazveme Booleovou algebrou.
+
+## De Morganovy zákony
+
+Nechť $(X, \leq)$ je distributivní komplementární svaz, $x, y \in X$. Potom platí:
+- $\overline{x \vee y} = \overline x \wedge \overline y$,
+- $\overline{x \wedge y} = \overline x \vee \overline y$.

KMA DMA/Otázky ke zkoušce/10. Booleovy algebry.md

@@ -0,0 +1,36 @@
+# Booleova algebra
+
+**Distributivní komplementární svaz** se nazývá **Booleův svaz** nebo **Booleova algebra**.
+
+Operace spojení $\wedge$ se značí symbolem $+$, operace průsek symbolem $\cdot$.
+
+## Booleovský kalkulus
+
+Nechť $X$ je Booleova algebra, $a, b, c \in X$. Potom platí:
+
+|     | spojení                                        | průsek                                          | vlastnost           |
+| --- | ---------------------------------------------- | ----------------------------------------------- | ------------------- |
+| S1  | $a+a=a$                                        | $a\cdot a=a$                                    | idempotentnost      |
+| S2  | $a+b=b+a$                                      | $a\cdot b=b\cdot a$                             | komutativita        |
+| S3  | $a+(b+c)=(a+b)+c$                              | $a\cdot (b\cdot c) = (a\cdot b)\cdot c$         | asociativita        |
+| S4  | $a+(a\cdot b) = a$                             | $a\cdot(a+b)=a$                                 | absorbce            |
+| D   | $a\cdot(b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$            | $a+(b\cdot c)=(a+b)\cdot(a+c)$                  | distributivita      |
+| N1  | $a+0=a$                                        | $a\cdot1=a$                                     | neutrální prvky     |
+| N2  | $a+1=1$                                        | $a\cdot0=0$                                     | neutrální prvky     |
+| K1  | $\overline 0 = 1$                              | $\overline 1 = 0$                               | komplementy         |
+| K2  | $a + \overline a = 1$                          | $a \cdot \overline a = 0$                       | komplementarita     |
+| K3  | $\overline{(\overline a)} = a$                 |                                                 | involutornost       |
+| K4  | $\overline{a+b}=\overline a \cdot \overline b$ | $\overline{a\cdot b}=\overline a + \overline b$ | De Morganovy zákony |
+
+## Atom
+
+Nechť $X$ je Booleova algebra. Nenulový prvek $a \in X$ takový, že pro každý prvek $x \in X, x\neq a$ platí $x \wedge a = 0$ nebo $x \wedge a = a$, se nazývá atom algebry $X$.
+
+Atomy existují v každé Booleově algebře. Existovat nemusí pouze v nekonečných Booleových algebrách.
+
+Nechť $X$ je Booleova algebra, $x \in X$. Potom existují prvky $y, z \in X$ takové, že $y\neq x, z\neq x,y \vee z = x$ právě tehdy, když $x$ není ani nulový prvek ani atom $X$.
+
+Nechť $X$ je konečná Booleova algebra a $x \in X$ je libovolný nenulový prvek, potom platí, že
+- $x = a_{1} \vee a_{2} \vee \dots \vee a_{k}$,
+
+kde $a_{1}, \dots, a_{k}$ jsou všechny atomy $X$, pro které $a_{i} \leq x, i =1, \dots, k$.

KMA DMA/Otázky ke zkoušce/12. Booleovské funkce.md

@@ -0,0 +1,55 @@
+# Booleovské funkce
+
+**Definice**
+- Booleovská funkce n proměnných je libovolná funkce $f: B^n_{2} \to B_{2}$.
+
+Může jí být například Booleovská funkce dvou proměnných $+$ nebo  $\cdot$.
+
+Množina $F_{n}$ všech booleovských funkcí n proměnných s uspořádáním $\leq$ daným předpisem $f \leq g$, pokud pro každé $x \in B^n_{2}$ platí $f(x) \leq g(x)$, je Booleova alebra.
+
+Základní booleovské funkce je možné kombinovat do složitějších funkcí.
+
+## Pravdivostní tabulky
+
+Zapisují se do tabulky, kde je jeden řádek pro každou kombinaci hodnot proměnných.
+
+| $x$ | $y$ | $x+y$ | $x\cdot y$ |
+| --- | --- | ----- | ---------- |
+| 0   | 0   | 0     | 0          |
+| 0   | 1   | 1     | 0          |
+| 1   | 0   | 1     | 0          |
+| 1   | 1   | 1     | 1          |
+
+| $x$ | $\overline x$ |
+| --- | ------------- |
+| 0   | 1             |
+| 1   | 0             | 
+
+## Booleovské polynomy
+
+**Booleův polynom** v proměnných $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ je každá Booleova funkce, v proměnných $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$, která vznikne podle následujících pravidel:
+1) konstanty 0 a 1, každá proměnná $x_{i}, (i=1,\dots,n)$ je Booleův polynom,
+2) jsou-li $a, b$ Booleovy polynomy, potom i funkce $\overline a, a \vee b$ a $a \wedge b$ jsou Booleovy polynomy.
+
+Dva Booleovy polynomy jsou si **rovny**, pokud definují tutéž Booleovu funkci.
+
+### Klauzule
+
+Polynomy ve tvaru $y_{1} \vee y_{2} \vee \dots \vee y_{n}$, resp. $y_{1} \wedge y_{2} \wedge \dots y_{n}$, kde $y_{i} = x_{i}$ nebo $y_{i} = \overline{x_{i}}$ se nazývají **spojová**, resp. **průseková klauzule v proměnných** $x_{1}, \dots, x_{n}$. Pro každé $i=1,\dots,n$ nazveme $y_{i}$ **literálem** proměnné $x_{i}$.
+
+- $x_{1} \vee x_{2} \vee \overline{x_{3}} \vee x_{4} \vee \overline{x_{5}}$ - spojová klauzule
+- $\overline{x_{1}} \wedge x_{2} \wedge x_{3} \wedge x_{4} \wedge \overline{x_{5}}$ - průseková klauzule
+- $x_{1} \vee \overline{x_{2}} \wedge x_{3}$ - ani spojová, ani průseková klauzule
+
+### Formy
+
+O Booleově polynomu, který je **spojením průsekových**, resp. **průsekem spojových** klauzulí říkáme, že je zapsán v **disjunktivní (spojové)** resp. **konjunktivní (průsekové)** **normální formě**.
+- značíme **DNF**, resp. **KNF**
+
+Jestliže navíc každá klauzule obsahuje literály všech proměnných, potom tyto formy nazýváme úplnými formami.
+- značíme **ÚDNF**, resp. **ÚKNF**
+
+Každou nekonstantní Booleovu funkci n proměnných lze vyjádřit Booleovým polynomem n proměnných v **úplné disjunktivní i konjunktivní normální formě**.
+- konstantní Booleova funkce
+	- 0 ... konjunktivní (kontradikce)
+	- 1 ... disjunktivní (tautologie)