Doplnění 10. a přidání 11. cvičení z TI

KIV TI/Cvičení/Cviceni10.md

@@ -235,4 +235,21 @@ G = \left[\begin{array}{ccc:c}
 \end{array}\right]
 $$
 
-šířka: 21, výška: 3
+šířka: 21, výška: 3
+
+$w = [w_{1} w_{2} w_{3} \dots w_{21}]^\text{T}$
+- $\widehat u_{1} = w_{1}$
+- $\widehat u_{1} = w_{4}$
+- $\widehat u_{1} = w_{5}$
+- $\widehat u_{1} = w_{6}$
+- $\widehat u_{1} = w_{7}$
+- $\widehat u_{1} = w_{8}$
+- $\widehat u_{1} = w_{9}$
+
+$\widehat u_{1} = \text{majorita}(\{w_{1}w_{4}w_{5}w_{6}w_{7}w_{8}w_{9}\})$
+- opravuji
+	- 7:0
+	- 6:1
+	- 5:2
+- detekuji
+	- 4:3

KIV TI/Cvičení/Cviceni11.md

@@ -0,0 +1,154 @@
+**Př. 1**: Vypočítejte nad tělesem $Z_{5}$.
+
+$(2x^4 + 3x^3 + 4) \cdot (3x^3 + 4x^2 + 2x + 1) =$
+
+$$
+= (x^7 + 3x^6 + 4x^5 + 2x^4) + (4x^6 + 2x^5 + x^4 + 3x^3) + (2x^3 + x^2 + 3x + 4) = x^7 + 2x^6 + x^5 + 3x^4 + x^2 + 3x + 4
+$$
+
+**Př. 2**: Vypočítejte nad tělesem $Z_{5}/x^4-1$.
+
+$(2x^4 + 3x^3 + 4) * (3x^3 + 4x^2 + 2x + 1) =$
+
+Pozn.: výsledkem násobení * je zbytek výsledku součinu po dělení $x^4 - 1$ (resp. $x^4 + 4$, protože -1 je v tomto tělese 4)
+- $x^4 = 1$
+- $u(x) = 1 + x^2 + x^3$
+- $u = [1011]$
+	- proto v $u(x)$ není $x$ (druhá pozice)
+- $u(x) \cdot x = x + x^3 + x^4$
+	- $x^4$ převedeme na 1
+
+$$
+= x^3 + 2x^2 + x + 3 + x^2 + 3x + 4 = x^3 + 3x^2 + 4x + 2
+$$
+
+**Př. 3**: Vypočítejte v $Z_{2}/x^4-1$
+
+$(x^2 + 1) * (x^2 + x + 1)$
+
+$$
+\cancel{x^4} + x^3 + \cancel{x^2 + x^2} + x + \cancel{1} = x^3 + x
+$$
+
+**Př. 4**: Binární cyklický kód vznikne ze slova 110110 cyklickými posuvy a součty. Určete všechny značky kódu $K$, generující mnohočlen $g(x)$, kontrolní mnohočlen $h(x)$, generující matici $G$ a kontrolní matici $H$.
+
+značky:
+- vždy posunuté o jednu pozici doleva
+- $u_{1} = [110110]$
+- $u_{2} = [011011]$
+- $u_{3} = [101101]$
++ $u_{1} + u_{2} = [101101] = u_{3}$
++ $u_{1} + u_{3} = [011011] = u_{2}$
++ $u_{2} + u_{3} = [110110] = u_{1}$
++ $u_{1} + u_{2} + u_{3} = [000000]$
+- 4 unikátní značky
+
+rozměry:
+- $k = 2$
+- $n = 6$
+- stupeň $g(x) = n-k = 4$
+
+generující mnohočlen:
+- je nenulový a má nejnižší stupeň ze všech značek
+- $g(x) =  1 + x + x^3 + x^4$ ($u_{1}$)
+- prvky $g_{0}, g_{1}, g_{2}, g_{4}, g_{5}$
+
+kontrolní mnohočlen:
+- $h(x) = x^n - 1 : g(x)$
+- $h(x) = (x^6 + 1) : (x^4 + x^3 + x + 1) = x^2 + x + 1$
+
+$(x^6 + 1) : (x^4 + x^3 + x + 1) = x^2 + x + 1$
+- $-(x^6 + x^5 + x^3 + x^2)$
+	- $x^5 + x^3 + x^2 + 1$
+	- $- (x^5 + x^4 + x^2 + x)$
+		- $x^4 + x^3 + x + 1$
+		- $-(x^4 + x^3 + x + 1)$
+			- $\emptyset$
+
+generující matice:
+- první řádek je $g(x)$
+- další řádky jsou vždy násobené $x$, tedy posunuté o jednu pozici doleva
+- nenulový pás z horního levého rohu do dolního pravého
+
+$$
+G = \begin{bmatrix}
+1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
+0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1
+\end{bmatrix}
+$$
+
+kontrolní matice:
+- první řádek je obráceně, tedy $h_{5}, h_{4}, h_{3}, h_{2}, h_{1}, h_{0}$
+- každý další řádek posunutý o jednu pozici doprava
+- nenulový pás z horního pravého rohu do dolního levého rohu
+
+$$
+H = \begin{bmatrix}
+0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
+0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
+0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
+1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0
+\end{bmatrix}
+$$
+
+**Př. 5**: Vytvořte cyklický kód pro kódování **čtyřprvkových** informační částí. Generující mnohočlen je $g(x) = 1 + x + x^3$. Kódování proveďte jak pomocí generující matice, tak i pomocí generujícího mnohočlenu.
+
+rozměry:
+- $k = 4$
+- $n - k = 3$
+- $\implies n = 7$
+
+generující matice:
+
+$$
+G = \begin{bmatrix}
+1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
+0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
+0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
+0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1
+\end{bmatrix}
+$$
+
+kódování pomocí $G$:
+- $u = [1110]^\text{T}\quad (1 + 2 + 4 = 7)$
+- označím 1., 2. a 3. řádek (tyto pozice jsou v $u$ nenulové)
+	- poté sčítám v $G$ vetikálně do $v$
+- $v = [1000110]^\text{T}$
+- první, třetí a čtvrtý prvek přenášen čistě (na poziciích 1, 6 a 7)
+
+kódování pomocí $g(x)$:
+- $v(x) = u(x) \cdot g(x) = (1 + x + x^2) \cdot (1 + x + x^3)$
+- $= (1 + x + x^3) + (x + x^2 + x^4) + (x^2 + x^3 + x^5) = 1 + x^4 + x^5$
+
+| číslo | informační část | kód       |     |
+| ----- | --------------- | --------- | --- |
+| 0     | `0000`          | `0000000` |     |
+| 1     | `1000`          | `1101000` | +   |
+| 2     | `0100`          | `0110100` | +   |
+| 3     | `1100`          | `1011100` | o   |
+| 4     | `0010`          | `0011010` | +   |
+| 5     | `1010`          | `1110010` | o   | 
+| 6     | `0110`          | `0101110` | o   |
+| 7     | `1110`          | `1000110` | +   |
+| 8     | `0001`          | `0001101` | +   |
+| 9     | `1001`          | `1100101` | o   |
+| 10    | `0101`          | `0111001` | o   |
+| 11    | `1101`          | `1010001` | +   |
+| 12    | `0011`          | `0010111` | o   |
+| 13    | `1011`          | `1111111` |     |
+| 14    | `0111`          | `0100011` | +   |
+| 15    | `1111`          | `1001011` | o   |
+
+Pozn.: Označené kódy jsou posuvy toho prvního označeného.
+
+**Př. 6**: Vytvořte systematický cyklický kód s generujícím mnohočlenem $g(x) = 1 + x + x^3$. Vypočtěte všechny značky a vhodně zvolte generující matici.
+
+- $u = [1110]^\text{T}$
+- $u(x) = x^3 + x^2 + x$
++ $u(x) \cdot x^{n-k}$
+	+ $(x^3 + x^2 + x) \cdot x^3 = x^6 + x^5 + x^4$
++ $u(x)  \cdot x^{n-k} : g(x) = \cancel{q(x)}, z(x)$
+	+ $u(x) \cdot x^{n-k} = q(x) \cdot g(x) + z(x)$
+	+ $u(x) \cdot x^{n-k} + z(x) = q(x) \cdot g(x)$
+- $v(x) = u(x) \cdot x^{n-k} + z(x)$
+	- $z(x)$ má stupeň nejvýše $n-k-1$