FAV-ZCU/KIV TI/Cvičení/Cviceni10.md

Př. 1: \mathbb{Z}_{5}

$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 1 & 1 & 1 \ 2 & 4 & 0 & 0 & 1 \ 0 & 2 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{matrix} \cdot \space 2 \ \cdot \space 1 \ \cdot \space 4 \end{matrix}

$$ u = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 4 \end{bmatrix}^\text{T}

Získání vektoru v:

• násobíme matici A vektorem u
  • v = G^\text{T} \cdot u
  • vynásobíme řádky a sečteme sloupce

$$ \begin{bmatrix} 2 & 3 & 2 & 2 & 2 \ 2 & 4 & 0 & 0 & 1 \ 0 & 3 & 4 & 4 & 4 \end{bmatrix} $$ $$ \begin{bmatrix} 4 & 0 & 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}^\text{T}

Kontrolní matice:

$$ H_{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 \ 1 & 2 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}

$$ H_{A} \cdot v = \begin{bmatrix} 0 & 0 \end{bmatrix}^\text{T}

Chybový vektor:

$$ e = \begin{bmatrix} 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

$$ w = v + e = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}^\text{T}

Syndrom: $$ s = H \cdot w = \begin{bmatrix} 4 & 4 \end{bmatrix}^\text{T}

Př. 2: Navrhněte binární lineární kód, který umožní zakódovat šestiprvkové informační části tak, aby bylo možné současně opravovat jednoduché a detekovat dvojité chyby.

Pozn.: Musíme vyjít od toho, jakou musí mít kód minimální Hammingovskou vzdálenost d_{0}. Potom si uvědomíme, jestli existují nějaké standardní kódy, které to splňují. Pokud neexistují, tak použijeme opakovací kód.

Požadavky:

• jednoduchá chyba - opravit
• dvojitá chyba - detekovat

Použitelné kódy:

• d_{0} = 1 \dots nedává smysl
• d_{0} = 2 \dots parita
• d_{0} = 3 \dots Hammingův kód (i zkrácený)
• d_{0} = 4 \dots rozšířený Hammingův kód (i zkrácený)
• d_{0} \geq 5 \dots opakovací kód

$$ e_{i} = \begin{bmatrix} 0 & \dots & 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \end{bmatrix}^\text{T}

$$ s = H \cdot w = H \cdot (v + e_{i}) = H \cdot v + H \cdot e_{i} = H \cdot e_{i} = H_{0,i}

$$ H = \left[\begin{array}{c:c} -B^\text{T} & I_{n-k} \end{array}\right]

• v matici H jsou sloupce s více než jednou jedničkou

$$ G = \left[\begin{array}{c:c} I_{k} & B \end{array}\right]

• v B alespoň dvě jedničky

Opravování jednonásobných chyb:

• k = 6 (počet informačních prvků)
• počet syndromů 2^r \geq 1 + k+r
  • 1 syndrom pro bezchybný přenos
  • k+r syndromů pro každý prvek
  • r = n-k

Hledání r:

• 2^r \geq 1 + 6 + r
• 2^r \geq r + 7
• r = 4

$$ G = \left[\begin{array}{cccccc:cccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right] \quad \begin{matrix} 3 \ 5 \ 6 \ 7 \ 9 \ 10 \end{matrix}

Pozn.: Při vyplňování druhé části matice začínáme číslem 3 a nesmíme přidávat mocniny 2. Přidáme poslední sloupec, který je paritní, díky němuž můžeme detekovat dvojnásobné chyby.

Vytvoříme kontrolní matici:

$$ H_{R} = \left[\begin{array}{cccccc:ccccc} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]

$$ H = \left[\begin{array}{cccccc:cccc:c} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right]

Přidáváme poslední řádek jedniček a poslední sloupec nul.

Zakódování dat:

• u = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}^\text{T}
• v = \left[\begin{array}{cccccc:ccccc} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right]^\text{T}
• pro zjištění druhé části v sečteme první dva řádky matice G_{R}

Jednoduchá chyba:

• e = \left[\begin{array}{ccccc:cccc} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]^\text{T}
• w = \left[\begin{array}{ccccc:cccc} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right]^\text{T}
• s = H_{R} \cdot w

Pozn.: Při výpočtu sčítáme hodnoty ve sloupcích určených vektorem w po jednotlivých řádcích, výsledkem je syndrom s.

$$ s = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}^\text{T}

Pozn. 2: V případě jednoduché chyby je syndrom roven řádku kontrolné matice.

Dvojitá chyba:

• e' = \left[\begin{array}{ccccc:cccc} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]^\text{T}
• w' = \left[\begin{array}{ccccc:cccc} 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right]^\text{T}

$$ s' = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}^\text{T}

Pozn.: Tento řádek v kontrolní matici nenajdeme.

Př. 3: Sdělovací kanál přenáší 120 binárních znaků za sekundu. Zdroj generuje 100 binárních znaků za vteřinu. Navrhněte lineární binární kód, který umožní opravovat jednoduché chyby.

Řešení: Hammingův kód vyhovující podmínce 2^r = k + r + 1.

H. kód (7, 4) - 4 informační

• 100 znaků/s \implies 25 znaků/s \implies 25 \cdot 7 znaků/s = 175 znaků/s
• kanál tento přenos nezvládne

r	k	n	2^r	k/n
3	4	7	8	0.57
4	11	15	16	0.73
5	26	31	32	0.838 \geq 0.833

Redundance \rho = 1-\frac{k}{n}

• \frac{k}{n} - informační poměr

Potřebujeme informační poměr lepší než \frac{k}{n} \geq \frac{100}{120} = 0.833.

Počet informačních znaků vygenerovaných za jednotku času ... $k = 100$ Počet znaků po zakódování ... n = 120

Př. 4: Navrhněte lineární kód, který umožní kódovat tříprvkové informační části tak, aby bylo možné současně opravovat dvojité a detekovat čtyřnásobné chyby.

Řešení: opakovací kód s počtem opakování 7

$$ G = \left[\begin{array}{ccc:c} 1 & 0 & 0 & 111111 & & \ 0 & 1 & 0 & & 111111 & \ 0 & 0 & 1 & & & 111111 \end{array}\right]

šířka: 21, výška: 3

w = [w_{1} w_{2} w_{3} \dots w_{21}]^\text{T}

• \widehat u_{1} = w_{1}
• \widehat u_{1} = w_{4}
• \widehat u_{1} = w_{5}
• \widehat u_{1} = w_{6}
• \widehat u_{1} = w_{7}
• \widehat u_{1} = w_{8}
• \widehat u_{1} = w_{9}

\widehat u_{1} = \text{majorita}(\{w_{1}w_{4}w_{5}w_{6}w_{7}w_{8}w_{9}\})

• opravuji
  • 7:0
  • 6:1
  • 5:2
• detekuji
  • 4:3