Přidány okruhy

KMA M1/Okruhy/16. Neurčitý integrál.md

@@ -0,0 +1,26 @@
+# Neurčitý integrál
+## Primitivní funkce
+
+Mějme funkce $f$ a $F$, které jsou definované alespoň na intervalu $(a;b)$, kde $-\infty \leq a < b \leq +\infty$. Řekněme, že funkce $F$ je **primitivní funkcí** k funkci $f$ na intervalu $(a;b)$, pokud
+
+$$\forall \space x \in (a;b) : F'(x) = f(x).$$
+
+Nechť $F$ je primitivní funkce k funkci $f$ na intervalu $(a; b)$. Potom platí:  
+1) $F$ je spojitá na $(a; b)$.  
+2) Každá funkce ve tvaru $y = F (x) + C$, kde $C \in \mathbb{R}$, je primitivní funkcí k funkci $f$ na $(a; b)$.  
+3) Každá primitivní funkce k funkci $f$ na $(a; b)$ je ve tvaru $y = F (x) + C$, kde $C \in R$.
+
+## Neurčitý integrál
+
+Mějme funkce $f$ a $F$, které jsou definované alespoň na intervalu $(a;b)$, kde $-\infty \leq a < b \leq +\infty$.  Existuje-li primitivní funkce $F$ k funkci $f$ na $(a;b)$, potom říkáme, že funkce $f$ je **integrovatelná** na intervalu $(a;b)$ a **neurčitým integrálem** funkce $f$ na intervalu $(a;b)$ rozumíme množinu __všech__ primitivních funkcí k funkci $f$ na $(a;b)$:
+$$
+\int f(x) \, dx = \{F(x) + C : C \in \mathbb{R}\} \quad (\text{píšeme jen } F(x) + C; C \in \mathbb{R})
+$$
+
+Je-li funkce $f$ **spojitá** na intervalu $(a; b)$, potom je na tomto intervalu **integrovatelná**.
+
+### Linearita neurčitého integrálu
+
+Mějme funkce $f, g$, které jsou integrovatelné na intervalu $(a;b)$. Potom na intervalu $(a;b)$ platí
+1) $\displaystyle\int (f(x)+g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx$,
+2) $\displaystyle\int cf(x) \, dx = c \int f(x) \, dx, \quad c\in \mathbb{R} \setminus \{ 0 \}$.

KMA M1/Okruhy/17. Určitý integrál.md

@@ -0,0 +1,8 @@
+# Určitý integrál
+
+Mějme uzavřený interval $\langle a;b \rangle$, kde $-\infty<a<b<+\infty$. **Dělením intervalu** $\langle a;b \rangle$ rozumíme konečnou posloupnost $D = (x_{0}, x_{1}, \dots, x_{n}), n \in \mathbb{N}$, bodů z intervalu $\langle a;b \rangle$ tak, že platí
+$$
+a = x_{0} < x_{1} < x_{2} < \dots < x_{n-1} < x_{n} = b
+$$
+
+kde čísla $x_i$ jsou **dělící body** intervalu. 

KMA M1/Okruhy/20. Taylorův polynom.md

@@ -0,0 +1,15 @@
+# Taylorův polynom
+- aproximace (komplikovaných) funkcí polynomy 
+
+## Definice:
+- máme: $f: I \rightarrow \mathbb R, x_0 \in I$ a $f$ má $n$ derivací
+- Taylorovým polynomem funkce $f$ v $x_0$ $n$-tého stupně nazýváme:
+    - $T_n(x_0) = f(x_0) + f'(x-x_0) + \frac {f''(x)}{2} * (x-x_0)^2+...$
+
+## Taylorova Věta:
+- $f$ má $(n+1)$ derivací (spojitých) na $I = (x_0-\delta;x_0+\delta)$ potom $\forall x \in I$:
+    - $f(x)=T_n(x)+R_{n+1}(x)$
+    - funkce = Taylor, kde $R_{n+1}(x)$ = splňuje:
+        - 1. $R_{n+1}(x) = \frac{1}{n!} * \int_{x_0}^{x}f^{(n+1)}*(t)*(x-t)^1 dt$
+    - nebo např.:
+         - 2. $R_{n+1}(x) = \frac{f^{(n+1)}*(c)}{n!} * (-x_0)^{(n+1)}$