Přidání poznámek k nekonečným řadám v M1

KMA M1/3. Nekonečné řady.md

@@ -0,0 +1,59 @@
+# Nekonečné řady
+
+Mějme dánu posloupnost $(a_{n})$ reálných čísel.
+
+**Nekonečná řada** je symbol $\displaystyle\quad\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n},\quad$ kterým označujeme výraz $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots$.
+
+### Posloupnost částečných součtů
+
+**Posloupnost částečných součtů** řady $\displaystyle\quad\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}\quad$ je posloupnost $(s_n)$, kde
+$$
+\begin{matrix}
+s_{1} = a_{1} \\
+s_{2} = a_{1} + a_{2} \\
+s_{3} = a_{1} + a_{2} + a_{3} \\
+\vdots \\
+s_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n}
+\end{matrix}
+$$
+
+Čísla $a_{n}$ jsou **členy řady**, čísla $s_{n}$ jsou **částečné součty řady**. Pokud existuje limita $\lim_{ n \to \infty }{s_{n} = s \in \mathbb{R}^*}$, potom řada $\displaystyle \quad\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}\quad$ má **součet** $s$ a tuto skutečnost zapisujeme jako $\displaystyle \quad\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} = s$.
+
+### Konvergence a divergence
+
+Mějme dánu řadu  $\displaystyle \quad\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}\quad$ a nechť $(s_{n})$ je její posloupnost částečných součtů. Řada  $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}$ je
+
+| značka | typ                       | podmínka                          |
+| ------ | ------------------------- | --------------------------------- |
+| **K**  | konvergentní              | $(s_n)$ konverguje                |
+| **D**  | divergentní               | $(s_{n})$ diverguje               |
+|        | divergentní k $\pm\infty$ | $(s_{n})$ diverguje k $\pm\infty$ |
+
+Pro **geometrickou řadu** $\displaystyle \quad\sum_{n=1}^{+\infty} q^{n-1} = 1 + q + q^2 + q^3 + \dots\quad$ platí
+
+$$
+\displaystyle \sum_{k=1}^{n} q^{k-1} = \begin{cases}
+& \displaystyle\frac{1-q^n}{1-q} & \text{pro } q \neq 1, \\
+& n  & \text{pro } q = 1,
+\end{cases}
+$$
+
+$$
+\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} q^{n-1} \begin{cases}
+& = \displaystyle\frac{1}{1-q} & \text{pro } \vert q\vert < 1, \\
+& = +\infty & \text{pro } q \geq 1, \\
+& \text{diverguje} & \text{pro } q \leq -1.
+\end{cases}
+$$
+
+Je-li $\displaystyle \quad\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}, \quad\sum_{n=1}^{+\infty} b_{n}, \quad a,b \in \mathbb{R}^*, \quad c,d \in \mathbb{R}, \quad$ potom platí
+
+$$
+\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} (c \cdot a_{n} + d \cdot b_{n}) = c \cdot a + d \cdot b
+$$
+
+pokud je výraz $(c \cdot a + d \cdot b)$ definován v $\mathbb{R}^*$ (tj. pokud není neurčitým výrazem). 
+
+### Nutná podmínka konvergence řady
+
+Je-li řada $\displaystyle \quad\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}\quad$ konvergentní, potom $\displaystyle\lim_{ n \to \infty }{a_{n}} = 0$.