2.5 KiB
Nekonečné řady
Mějme dánu posloupnost (a_{n}) reálných čísel.
Nekonečná řada je symbol \displaystyle\quad\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n},\quad kterým označujeme výraz a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots.
Posloupnost částečných součtů
Posloupnost částečných součtů řady \displaystyle\quad\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}\quad je posloupnost (s_n), kde
$$
\begin{matrix}
s_{1} = a_{1} \
s_{2} = a_{1} + a_{2} \
s_{3} = a_{1} + a_{2} + a_{3} \
\vdots \
s_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n}
\end{matrix}
Čísla a_{n} jsou členy řady, čísla s_{n} jsou částečné součty řady. Pokud existuje limita \lim_{ n \to \infty }{s_{n} = s \in \mathbb{R}^*}, potom řada \displaystyle \quad\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}\quad má součet s a tuto skutečnost zapisujeme jako \displaystyle \quad\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} = s.
Konvergence a divergence
Mějme dánu řadu \displaystyle \quad\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}\quad a nechť (s_{n}) je její posloupnost částečných součtů. Řada \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} je
| značka | typ | podmínka |
|---|---|---|
| K | konvergentní | (s_n) konverguje |
| D | divergentní | (s_{n}) diverguje |
divergentní k \pm\infty |
(s_{n}) diverguje k \pm\infty |
Pro geometrickou řadu \displaystyle \quad\sum_{n=1}^{+\infty} q^{n-1} = 1 + q + q^2 + q^3 + \dots\quad platí
$$
\displaystyle \sum_{k=1}^{n} q^{k-1} = \begin{cases}
& \displaystyle\frac{1-q^n}{1-q} & \text{pro } q \neq 1, \
& n & \text{pro } q = 1,
\end{cases}
$$
\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} q^{n-1} \begin{cases}
& = \displaystyle\frac{1}{1-q} & \text{pro } \vert q\vert < 1, \
& = +\infty & \text{pro } q \geq 1, \
& \text{diverguje} & \text{pro } q \leq -1.
\end{cases}
Je-li \displaystyle \quad\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}, \quad\sum_{n=1}^{+\infty} b_{n}, \quad a,b \in \mathbb{R}^*, \quad c,d \in \mathbb{R}, \quad potom platí
$$
\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} (c \cdot a_{n} + d \cdot b_{n}) = c \cdot a + d \cdot b
pokud je výraz (c \cdot a + d \cdot b) definován v \mathbb{R}^* (tj. pokud není neurčitým výrazem).
Nutná podmínka konvergence řady
Je-li řada \displaystyle \quad\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}\quad konvergentní, potom \displaystyle\lim_{ n \to \infty }{a_{n}} = 0.