Přidání poznámek

KMA LAA/4. Determinant matice.md

@@ -4,10 +4,28 @@
 - kde sčítáme přes všechny permutace na množině {1, 2, ..., n}
 - determinant je suma všech permutací vzniklých z diagonálního řádku matice, kde sudá permutace je s kladným znaménkem a lichá se záporným
 - v součinu prvků v definici determinantu je z každého řádku a z každého sloupce vybrán právě jeden prvek
-- algebraický doplňek prvku $ (-1)^{i+j} det A[\cancel{i/j}] $ subdeterminant (minor) vzniklý z matice vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce.
 - $ det(A) = det(A^{T}) $
+- algebraický doplňek prvku $ (-1)^{i+j} det A[\cancel{i/j}] $ subdeterminant (minor) vzniklý z matice vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce.
 
 ### Rozvoj podle i-tého řádku
 - A je čtvercová matice řádu n
 - $ i = \in {\{ 1, 2, ..., n  \}} $
-- $ det(A) = a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2} + ... + a_{in}A_{in} = \sum_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij} $
+- $ det(A) = a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2} + ... + a_{in}A_{in} = \sum_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij} $
+- elementární úpravy:
+    - prohození dvou řádků matice
+    - vynásobení (vydělení) řádku matice nenulovým číslem
+    - přičtení k-násobku i-tého řádku k j-tému
+- pro determinanty můžeme využívat analogicky sloupcové elementární úpravy
+- nechť matice B vznikne z matice A prohozením dvou řádků (sloupců) => det(B) = -det(A)
+    - DK: prohozením dvou řádků (sloupců) se změní počet transpozic v každé permutaci o 1, tedy znaménka se změní v opačná
+    - z definice determinantu pak plyne, že vyjde opačný k det(A)
+- má-li matice A **dva stejné řádky** nebo **sloupce** => **det(A) = 0**
+    - DK: B vznikne z matice A prohozením dvou stejných řádků (sloupců)
+    - det (B) = -det(A) z předch. věty a B=A, tedy det(B) = det(A) => det(A)=det(B)=0
+- nechť matice B vznikne z matice A vynásobením i-tého řádku (sloupce) číslem c => det(B) = c*det(A)
+    - DK: rozvoj v B podle i-tého řádku:
+    - $ det(B) = (c*a_{i1}*A_{i1} + c*a_{i2}*A_{i2} + ... + c*a_{in}*A_{in}) = c * (a_{i1}*A_{i1} + a_{i2}*A_{i2} + ... + a_{in}*A_{in}) = c * det(A) $
+- má-li matice A nějaký řádek nebo sloupec nulový => det(A) = 0
+    - DK: rozvojem podle nulového řádku (sloupce)
+- nechť matice B vznikne z matice A přičtením c-násobku i-tého řádku (slupce) k j-tému řádku (sloupci) (i $ \cancel = $ j) => det(B) = det(A)
+- nechť A, B jsou matice řádu n => det(A*B) = det(A) * det(B)