Přidání poznámek k limitám a spojitosti funkce v M1

KMA M1/5. Limita funkce a spojitost.md

@@ -9,17 +9,31 @@ $$
 
 a píšeme $\displaystyle\lim_{ x \to \infty }{f(x)} = b$.
 
+### Jednoznačnost limity
+
+Každá funkce má v bodě nejvýše jednu limitu (limitu zprava, limitu zleva).
+
+Pro $x_{0} \in \mathbb{R}$ a $b \in \mathbb{R}^*$ platí $\displaystyle \lim_{ x \to x_{0} } f(x) = b$ právě tehdy, když $\displaystyle \lim_{ x \to x_{0}^- } f(x) = \lim_{ x \to x_{0}^+ } f(x) = b$.
+
 ### Algebra limit
 
 Mějme dány funkce $f$ a $g$, které mají stejný definiční obor $D$ a mají v bodě $x_{0} \in \mathbb{R}^*$ limitu
 
-$$\lim_{ n \to x_{0} } f(x) = a \in \mathbb{R}^*, \lim_{ n \to x_{0} } g(x) = b \in \mathbb{R}^*.$$
+$$\lim_{ x \to x_{0} } f(x) = a \in \mathbb{R}^*, \lim_{ x \to x_{0} } g(x) = b \in \mathbb{R}^*.$$
 
 Potom platí
 - $\displaystyle\lim_{ x \to x_{0} } (f(x) + g(x)) = a + b, \quad$ pokud je pravá strana definována,
 - $\displaystyle\lim_{ x \to x_{0} } (f(x) \cdot g(x)) = a \cdot b, \quad$ pokud je pravá strana definována,
 - $\displaystyle\lim_{ x \to x_{0} } \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{a}{b}, \quad$ pokud $\quad\forall \, x \in D : g(x) \neq 0\quad$ a pokud je pravá strana definována.
 
+### Věta o sevření
+
+Mějme dány funkce $f, g, h$ se stejným definičním oborem $D$ a bod $x_{0} \in \mathbb{R}^*$. Dále předpokládejme, že platí
+1) $\exists \, \delta > 0 \, \forall \, x \in D \, \cap \, P(x_{0}, \delta) : f(x) \leq g(x) \leq h(x)$,
+2) $\displaystyle \lim_{ x \to x_{0} } f(x) = \lim_{ x \to x_{0} } h(x) = b \in \mathbb{R}^*$.
+
+Věta 4.5, 4.6
+
 ## Spojitost funkce
 
 - spojité funkce umíme načrtnout jedním tahem
@@ -27,7 +41,7 @@ Potom platí
 	- spojité procesy (růst člověka)
 	- nespojité procesy (bankovní účet)
 
-Funkce $f$ je
+Mějme dánu funkci $f : D \to \mathbb{R}$, bod $x_{0} \in D$, který je hromadným bodem $D$. Řekněme, že funkce $f$ je
 
 | typ spojitosti                 | podmínka                                                   | 
 | ------------------------------ | ---------------------------------------------------------- |
@@ -35,7 +49,7 @@ Funkce $f$ je
 | spojitá zprava v $x_0 \in D_f$ | pokud $\displaystyle f(x_{0}) = f(x_{0}+)$                 |
 | spojitá zleva v $x_0 \in D_f$  | pokud $\displaystyle f(x_{0}) = f(x_{0}-)$                 |
 
-Pokud $x_{0} \in D$ je izolovaným bodem $D$, potom funkce $f$ je spojitá v bodě $x_{0}$.
+Pokud $x_{0} \in D$ je izolovaným bodem $D$, potom funkce $f$ je **spojitá v bodě** $x_{0}$.
 
 ### Body nespojitosti
 
@@ -55,3 +69,21 @@ Bod $x_{0}$ je **bod nespojitosti** funkce $f$, pokud funkce $f$ v bodě $x_{0}$
 - **NN2D** - neodstranitelná nespojitost 2. druhu
 	- **podmínka**: neexistuje vlastní limita $f(x_{0}+)$ nebo $f(x_{0}-)$
 	- alespoň jedna neexistuje nebo není alespoň jedna vlastní
+
+Věta 4.7, 4.8, 4.9
+
+### Spojitost na intervalu
+
+Mějme dánu funkci $f : D \to \mathbb{R}$ a interval $I \subset D$. Řekněme, že funkce $f$ je **spojitá na intervalu** $I$ jestliže je spojitá v každém vnitřním bodě intervalu $I$ a patří-li levý (pravý) koncový bod tohoto intervalu do $I$, je v něm spojitá zprava (zleva).
+
+#### Cauchyho věta
+
+Mějme dánu funkci $f$, která je spojitá na **uzavřeném** intervalu $\langle a;b \rangle$ a pro kterou platí $f(a) \cdot f(b) < 0$. Potom existuje $\xi \in (a;b)$ tak, že $f(\xi) = 0$.
+
+#### Weierstrassova věta
+
+Mějme dánu funkci $f$, která je spojitá na **uzavřeném** intervalu. Potom funkce $f$ je na tomto intervalu omezená a nabývá na něm své nejmenší a největší funkční hodnoty.
+
+#### Bolzanova věta
+
+Mějme dánu funkci $f$, která je spojitá na **uzavřeném** intervalu. Potom funkce $f$ na tomto intervalu nabývá všech mezihodnot mezi svou nejmenší a největší funkční hodnotou.