Přidání 24. otázky z DMA

KMA DMA/Otázky ke zkoušce/24. Acyklické grafy.md

@@ -0,0 +1,39 @@
+# Acyklické grafy
+
+Graf $\vec{G}$ je **acyklický**, jestliže $\vec{G}$ neobsahuje jako podgraf žádný cyklus.
+
+**Sledová relace** $x \sim y$ na vrcholech $x, y \in V(\vec{G})$ orientovaného grafu:
+- reflexivní
+	- $x \sim x$ - sled nulové délky
+- antisymetrická
+	- $x \sim y \wedge y \sim x \implies x = y$ - jednalo by se jinak o cyklus
+- tranzitivní
+	- $x \sim y \wedge y \sim z \implies x \sim z$
+
+**Pozorování**: Každý POSET odpovídá sledové relaci nějakého acykl. orientovaného grafu a naopak. (bijekce)
+- minimální prvky: $d^\text{in}(v) = 0$
+	- pouze z něj hrany vystupují
+- maximální prvky: $d^\text{out}(v) = 0$
+	- pouze do něj hrany vstupují
+
+**Pozorování**: Každý podgraf acyklického grafu je acyklický. (acyklicita je dědičná)
+- $\implies$ každý acyklický graf má (lineární) **topologické uspořádání vrcholů**
+	-  odtrhávání vstupních vrcholů a jejich postupné číslování
+	- dají se očíslovat od $1$ (nemá žádnou vstupující hranu) po $n$ (nemá žádnou vystupující hranu)
+	- $(i, j) \in E(\vec{G}) \implies i < j$
+
+**Pozorování**: Vrcholy acyklického grafu lze lineárně uspořádat.
+
+**Věta**: Vlastnosti acyklického grafu
+- kondenzace $\vec{G}^c$ je acyklický graf
+- $\vec{G}$ je silně souvislý $\iff \vec{G}^c$ má jediný vrchol
+- $\vec{G}$ je acyklický $\iff$ $\vec{G}^c = \vec{G}$
+
+# Nilpotentnost matice
+
+**Tvrzení**: Orientovaný graf $\vec{G}$ je acyklický právě, pokud je nějaká mocina jeho **matice sousednosti** $A(\vec{G})$ nulová.
+- $\exists \, k \geq 0 : A^k(\vec{G}) = 0$
+
+Matice je **nilpotentní**, jestliže je nějaká její mocnina nulová.
+
+Ověříme tím, že sestavíme graf a zjistíme, jestli je acyklický.