1.7 KiB
1.7 KiB
Acyklické grafy
Graf \vec{G} je acyklický, jestliže \vec{G} neobsahuje jako podgraf žádný cyklus.
Sledová relace x \sim y na vrcholech x, y \in V(\vec{G}) orientovaného grafu:
- reflexivní
x \sim x- sled nulové délky
- antisymetrická
x \sim y \wedge y \sim x \implies x = y- jednalo by se jinak o cyklus
- tranzitivní
x \sim y \wedge y \sim z \implies x \sim z
Pozorování: Každý POSET odpovídá sledové relaci nějakého acykl. orientovaného grafu a naopak. (bijekce)
- minimální prvky:
d^\text{in}(v) = 0- pouze z něj hrany vystupují
- maximální prvky:
d^\text{out}(v) = 0- pouze do něj hrany vstupují
Pozorování: Každý podgraf acyklického grafu je acyklický. (acyklicita je dědičná)
\implieskaždý acyklický graf má (lineární) topologické uspořádání vrcholů- odtrhávání vstupních vrcholů a jejich postupné číslování
- dají se očíslovat od
1(nemá žádnou vstupující hranu) pon(nemá žádnou vystupující hranu) (i, j) \in E(\vec{G}) \implies i < j
Pozorování: Vrcholy acyklického grafu lze lineárně uspořádat.
Věta: Vlastnosti acyklického grafu
- kondenzace
\vec{G}^cje acyklický graf \vec{G}je silně souvislý\iff \vec{G}^cmá jediný vrchol\vec{G}je acyklický\iff\vec{G}^c = \vec{G}
Nilpotentnost matice
Tvrzení: Orientovaný graf \vec{G} je acyklický právě, pokud je nějaká mocina jeho matice sousednosti A(\vec{G}) nulová.
\exists \, k \geq 0 : A^k(\vec{G}) = 0
Matice je nilpotentní, jestliže je nějaká její mocnina nulová.
Ověříme tím, že sestavíme graf a zjistíme, jestli je acyklický.