Úpravy otázek z DMA
This commit is contained in:
parent
0f92cbb238
commit
253cffdde4
|
|
@ -50,31 +50,21 @@ předcházení**). Tato relace obecně není reflexívní ani tranzitivní.
|
|||
- prvky, které nejsou v relaci se žádným menším prvkem
|
||||
- může jich být více
|
||||
|
||||
**Infimum**
|
||||
- největší dolní závora prvků $x, y \in X$
|
||||
- prvek $i \in X$ s vlastnostmi
|
||||
- $i \leq x$ a $i \leq y$ (je dolní závorou)
|
||||
- je-li $z \leq x$ a $z \leq y$ pro nějaké $z \in X$, pak $z \leq i$ (je největší dolní závorou)
|
||||
|
||||
**Supremum**
|
||||
- nejmenší horní závora prvků $x, y \in X$
|
||||
- prvek $s \in X$ s vlastnostmi
|
||||
- $x \leq s$ a $y \leq s$ (je horní závorou)
|
||||
- je-li $x \leq z$ a $y \leq z$ pro nějaké $z \in X$, pak $s \leq z$ (je nejmenší horní závorou)
|
||||
|
||||
**Výška POSETu**
|
||||
- označíme $\text{height}(\mathcal P)$, je největší $h$ takové, že existuje řetězec $h$ prvků v $\mathcal P$
|
||||
|
||||
**Šířka POSETu**
|
||||
- označíme $\text{width}(\mathcal P)$, je největší $w$ takové, že existuje antiřetězec $w$ prvků v $\mathcal P$
|
||||
**Infimum**
|
||||
- největší dolní závora prvků $x, y \in X$
|
||||
- prvek $i \in X$ s vlastnostmi
|
||||
- $i \leq x$ a $i \leq y$ (je dolní závorou)
|
||||
- je-li $z \leq x$ a $z \leq y$ pro nějaké $z \in X$, pak $z \leq i$ (je největší dolní závorou)
|
||||
|
||||
**Duální POSET** $\mathcal P^{d} = (X, \mathcal P^d)$ k POSETu $\mathcal P$
|
||||
- $P^d = \{ (x,y) \mid (x, y) \in \, \leq \}$
|
||||
- Pokud pro POSET $\mathcal P$ existuje Hasseův diagram, pak Hasseův diagram pro $\mathcal P^d$ získáme jeho otočením "vzhůru nohama".
|
||||
- Relace $\mathcal P^d$ je inverzní k relaci $\mathcal P$.
|
||||
|
||||
## Řetězce a antiřetězce
|
||||
|
||||
Mějme POSET $(X, \leq)$, podmnožinu $C \subseteq X$ nazveme **řetězcem** (řetízkem), pokud platí, že každé 2 různé prvky $x, y \in C$ jsou porovnatelné.
|
||||
|
||||
Naopak podmnožinu $A \subseteq X$ nazveme **antiřetězcem** (antiřetízkem), pokud jsou každé 2 různé prvky $x, y \in A$ neporovatelné.
|
||||
TODO: Podposet
|
||||
|
|
@ -1,7 +1,23 @@
|
|||
# Mirskyho a Dilworthova věta
|
||||
|
||||
**Věta** (Dilworthova)
|
||||
- Nechť $\mathcal P = (X, P)$ POSET a $\text{width}(\mathcal P) = w$. Pak existuje rozklad množiny $X, X = C_{1} \cup C_{2} \cup \dots \cup C_{w}$, kde $C_{i}, i = 1 \dots, w$ je řetězec. Navíc, neexistuje rozklad množiny $X$ na méně než $w$ řetězců.
|
||||
- Nechť $\mathcal P = (X, P)$ POSET a $\text{width}(\mathcal P) = w$.
|
||||
- Pak existuje rozklad množiny $X, X = C_{1} \cup C_{2} \cup \dots \cup C_{w}$, kde $C_{i}, i = 1 \dots, w$ je řetězec.
|
||||
- Navíc, neexistuje rozklad množiny $X$ na méně než $w$ řetězců.
|
||||
|
||||
**Věta** (Mirskyho, duální Dilworthova)
|
||||
- Nechť $\mathcal P = (X, P)$ POSET a $\text{height}(\mathcal P) = h$. Pak existuje rozklad množiny $X, X = A_{1} \cup A_{2} \cup \dots \cup A_{h}$, kde $A_{i}, i = 1\dots,h$ je antiřetězec. Navíc, neexistuje rozklad množiny $X$ na méně než $h$ antiřetězců.
|
||||
- Nechť $\mathcal P = (X, P)$ POSET a $\text{height}(\mathcal P) = h$.
|
||||
- Pak existuje rozklad množiny $X, X = A_{1} \cup A_{2} \cup \dots \cup A_{h}$, kde $A_{i}, i = 1\dots,h$ je antiřetězec.
|
||||
- Navíc, neexistuje rozklad množiny $X$ na méně než $h$ antiřetězců.
|
||||
|
||||
## Řetězce a antiřetězce
|
||||
|
||||
Mějme POSET $(X, \leq)$, podmnožinu $C \subseteq X$ nazveme **řetězcem** (řetízkem), pokud platí, že každé 2 různé prvky $x, y \in C$ jsou porovnatelné.
|
||||
|
||||
Naopak podmnožinu $A \subseteq X$ nazveme **antiřetězcem** (antiřetízkem), pokud jsou každé 2 různé prvky $x, y \in A$ neporovatelné.
|
||||
|
||||
**Výška POSETu**
|
||||
- označíme $\text{height}(\mathcal P)$, je největší $h$ takové, že existuje řetězec $h$ prvků v $\mathcal P$
|
||||
|
||||
**Šířka POSETu**
|
||||
- označíme $\text{width}(\mathcal P)$, je největší $w$ takové, že existuje antiřetězec $w$ prvků v $\mathcal P$
|
||||
|
|
@ -17,12 +17,12 @@ Když v libovolném pravdivém tvrzení **prohodíme průsek a spojení** (a usp
|
|||
## Operace
|
||||
|
||||
**Supremum**
|
||||
- značíme $x \vee y$
|
||||
- značíme $x \vee y$ (případně $+$)
|
||||
- nejmenší horní závora obou prvků
|
||||
- spojení (sjednocení) dvou množin
|
||||
|
||||
**Infimum**
|
||||
- značíme $x \wedge y$
|
||||
- značíme $x \wedge y$ (případně $\cdot$)
|
||||
- největší dolní závora obou prvků
|
||||
- průsek (průnik) dvou množin
|
||||
|
||||
|
|
@ -68,7 +68,7 @@ Jestliže ve svazu $X$ existují prvky 1 a 0, potom $\forall \, x \in X$ je $x \
|
|||
|
||||
Nechť $(X, \leq)$ je svaz s prvky 0 a 1, nechť $x \in X$. Prvek $\overline x$, pro který platí $x \vee \overline x = 1$ a $x \wedge \overline x = 0$, se nazývá **doplněk** (**komplement**) prvku $x$. Svaz s prvky 0 a 1, v němž $\forall \, x \in X : \exists \, \overline x$, se nazývá **komplementární svaz**.
|
||||
|
||||
V **distributivním komplementárním svazu** má každý prvek **práve jeden doplněk**. Takový svaz nazveme Booleovou algebrou.
|
||||
V **distributivním komplementárním svazu** má každý prvek **právě jeden doplněk**. Takový svaz nazveme Booleovou algebrou.
|
||||
|
||||
## De Morganovy zákony
|
||||
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -39,4 +39,16 @@ Nechť $X$ je konečná Booleova algebra a $x \in X$ je libovolný nenulový prv
|
|||
|
||||
kde $a_{1}, \dots, a_{k}$ jsou všechny atomy $X$, pro které $a_{i} \leq x, i =1, \dots, k$.
|
||||
|
||||
TODO: 5. přednáška
|
||||
TODO: 5. přednáška
|
||||
|
||||
## Direktní součin Booleovy algebry
|
||||
|
||||
Nechť $B_{1} = (X, \leq_{1}), B_{2} = (Y, \leq_{2})$ jsou Booleovy algebry. Potom se **direktním součinem** Booleových algeber $B_{1} \times B_{2}$ rozumí Booleova algebra $B = B_{1} \times B_{2} = (X \times Y, \leq)$, kde platí $(a_{1}, a_{2}) \leq (b_{1}, b_{2}) \iff a_{1} \leq_{1} b_{1} \wedge a_{2} \leq_{2} b_{2}$.
|
||||
|
||||
**Příklad**: Mějme Booleovy algebry $B_{1}, B_{2}$.
|
||||
- $B_{1} = \{0_{1}, 1_{1}\} \quad B_{2} = \{0_{2}, 1_{2}\}$
|
||||
- $B_{1} \times B_{2} = \{(0_{1}, 0_{2}), (0_{1}, 1_{2}), (1_{1}, 0_{2}), (1_{1}, 1_{2})\}$
|
||||
|
||||
**Důsledek**: Každá Booleova algebra $B$ je izomorfní s $B_{2}^n$, kde $n$ je počet atomů $B$.
|
||||
- $B_{2}^2 = B_{2} \times B_{2}, \quad B_{2}^3 = B_{2} \times B_{2} \times B_{2}$
|
||||
- $B_{2}^4$ - hyperkrychle (4-rozměrná)
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -1,9 +1,25 @@
|
|||
# Stoneova věta
|
||||
|
||||
**Isomorfismus** uspořádaných množin $(X, \leq)$ a $(Y, \subseteq)$ je bijekce $f: X \to Y$ taková, že pro každé $a, b \in X$ platí $a \leq b$ právě když $f(a) \subseteq f(b)$. Tyto uspořádané množiny jsou isomorfní (psáno $(X, \leq 0) \simeq (Y, \subseteq)$), pokud mezi nimi existuje isomorfismus.
|
||||
- zachovává uvedené operace
|
||||
- průsek, spojení, komplement a význačné prvky
|
||||
**Příklad**
|
||||
- dvě Booleovy algebry $B$ a $C$
|
||||
1. dělitelé 30, uspořádání delitelností, $X = \{ 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 \}$
|
||||
2. systém podmnožin, $A = \{a, b, c\}$, $(2^A, \leq)$
|
||||
- $f: 1 \to \emptyset, 2 \to a, 3 \to b, 5 \to c, 6 \to ab, 10 \to ac, 15 \to bc, 30 \to abc$
|
||||
|
||||
Každá konečná Booleova algebra je izomorfní Booleově algebře $(2^X, \leq)$ pro nějakou množinu $X$.
|
||||
**Isomorfismus** dvou Booleových algeber $(X, \leq)$ a $(Y, \subseteq)$ je zobrazení $f: X \to Y$, které
|
||||
1. je bijekce (prosté i na),
|
||||
2. zachovává všechny operace ($\wedge, \vee, \overline{}, 0, 1$).
|
||||
|
||||
- pro $a, b \in X$ platí $a \leq b$ právě když $f(a) \subseteq f(b)$
|
||||
|
||||
Tyto uspořádané množiny jsou isomorfní (psáno $(X, \leq) \simeq (Y, \subseteq)$), pokud mezi nimi existuje isomorfismus.
|
||||
|
||||
**Věta (Stone)**: Každá **konečná** Booleova algebra je **izomorfní** Booleově algebře $(2^X, \leq)$ pro nějakou množinu $X$.
|
||||
- $X = \text{At}(B)$ - množina atomů
|
||||
|
||||
**Důsledek**: Každá Booleova algebra $(B, \leq)$ má $2^n$ prvků, kde $n =$ počet atomů.
|
||||
- $\implies$ počet atomů $= \log_{2}\vert B\vert$
|
||||
|
||||
**Důsledek**: Každé dvě Booleovy algebry se stejným počtem prvků jsou izomorfní.
|
||||
|
||||
TODO: písání s. 49
|
||||
|
|
@ -87,6 +87,14 @@ Nechť $G_{1} = (V_{1}, E_{1})$ a $G_{2} = (V_{2}, E_{2})$ jsou grafy a zobrazen
|
|||
|
||||
Grafy $G_{1}, G_{2}$ jsou **izomorfní**, jestliže existuje izomorfizmus $G_{1}$ na $G_{2}$ a píšeme $G_{1} \simeq G_{2}$
|
||||
|
||||
### Automorfismus grafu
|
||||
|
||||
**Automorfismem grafu** $G$ nazveme izomorfizmus $G \to G$.
|
||||
|
||||
Izomorfismus může být **triviální** (identické zobrazení, $v_{i} \to v_{i}, \dots$) nebo **netriviální**. Složení izomorfismů je opět izomorfismus.
|
||||
|
||||
Množina automorfismů grafu $G$ s operací skládání tvoří grupu a značí se $\text{Aut}(G)$.
|
||||
|
||||
# Orientované grafy
|
||||
|
||||
- **Orientovaný graf** je dvojice $G = (V, E)$, kde $V$ je množina vrcholů a $E \subseteq V \times V$ je množina hran. (hrany jsou nyní prvky kartézského součinu, tedy uspořádané dvojice vrcholů)
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -39,21 +39,21 @@ Nechť $\vec{G}$ je orientovaný graf, potom
|
|||
|
||||
Pro orientované grafy lze snadno upravit definice sledů, cest a kružnicí v grafu.
|
||||
|
||||
**Orientovaný sled** z vrcholu $x$ do vrcholu $y$ v orientovaném grafu $G$
|
||||
**Orientovaný sled** z vrcholu $x$ do vrcholu $y$ v orientovaném grafu $\vec{G}$
|
||||
je posloupnost vrcholů $(x = v_{0}, v_{1}, \dots, v_{k} = y)$, ve které je pro každé $i = 1, \dots, k$
|
||||
dvojice $v_{i−1}v_{i}$ hranou grafu $G$.
|
||||
dvojice $v_{i−1}v_{i}$ hranou grafu $\vec{G}$.
|
||||
|
||||
**Orientovaná cesta** v $G$ je orientovaný sled, který obsahuje každý vrchol nejvýše jednou.
|
||||
**Orientovaná cesta** v $\vec{G}$ je orientovaný sled, který obsahuje každý vrchol nejvýše jednou.
|
||||
|
||||
Orientovaný graf $G$ je **silně souvislý**, pokud v něm pro každou dvojici vrcholů $x, y$ existuje **orientovaná cesta** z $x$ do $y$ i orientovaná cesta z $y$ do $x$.
|
||||
Orientovaný graf $\vec{G}$ je **silně souvislý**, pokud v něm pro každou dvojici vrcholů $x, y$ existuje **orientovaná cesta** z $x$ do $y$ i orientovaná cesta z $y$ do $x$.
|
||||
|
||||
### Cyklus
|
||||
|
||||
**Cyklus** v $G$ je orientovaný sled, ve kterém je $v_{0} = v_{k}$, tento vrchol je v něm obsažen právě dvakrát a všechny ostatní nejvýše jednou.
|
||||
**Cyklus** v $\vec{G}$ je orientovaný sled, ve kterém je $v_{0} = v_{k}$, tento vrchol je v něm obsažen právě dvakrát a všechny ostatní nejvýše jednou.
|
||||
|
||||
Graf $G$ je silně souvislý právě tehdy, pokud je jeho každá hrana obsažena v nějakém cyklu.
|
||||
Graf $\vec{G}$ je silně souvislý právě tehdy, pokud je jeho každá hrana obsažena v nějakém cyklu.
|
||||
|
||||
Graf $G$ je **acyklický**, jestliže $G$ neobsahuje jako podgraf žádný cyklus.
|
||||
Graf $\vec{G}$ je **acyklický**, jestliže $\vec{G}$ neobsahuje jako podgraf žádný cyklus.
|
||||
|
||||
## Relace oboustranné dosažitelnosti
|
||||
|
||||
|
|
|
|||
|
|
@ -1,13 +1,3 @@
|
|||
# Počet koster
|
||||
|
||||
**Cauchy-Binetova věta**: Nechť $B$ je matice o rozměrech $r\times s$, kde $r \leq s$. Potom platí, že
|
||||
|
||||
- $\displaystyle\det(B\cdot B^T) = \sum_{I} (\det B_{I})^2,$
|
||||
|
||||
kde $I$ probíhá všechny $r$-prvkové množiny sloupců a $B_I$ je čtvercová podmatice matice $B$, určená sloupci z množiny $I$.
|
||||
|
||||
**Věta**: Nechť $\vec{G}$ je slabě souvislý orientovaný graf bez smyček a $A = M_{R}(\vec{G})$. Potom **počet koster** grafu $\vec{G}$ **je roven determinantu** matice $A \cdot A^T$.
|
||||
|
||||
# Laplaceova matice
|
||||
|
||||
Nechť $G$ je neorientovaný graf s vrcholy $V = \{v_{1}, \dots, v_{n}\}$ a $\vec{G}$ nějaké jeho orientace bez smyček a násobných hran. Dále položme
|
||||
|
|
@ -15,10 +5,21 @@ Nechť $G$ je neorientovaný graf s vrcholy $V = \{v_{1}, \dots, v_{n}\}$ a $\ve
|
|||
|
||||
Potom pro prvky čtvercové matice $L = (l_{ij})$ řádu $n$ platí:
|
||||
|
||||
$l_{ij} = \begin{cases} \text{d}(v_{i}) & \text{pokud } i=j, \\ -1 & \text{pokud } v_{i}v_{j} \in E(G), \\ 0 & \text{jinak.} \end{cases}$
|
||||
$l_{ij} = \begin{cases} \text{d}(v_{i}) & \text{pokud } i=j, \\ -1 & \text{pokud } v_{i}v_{j} \in E(G), \\ 0 & \text{jinak,} \end{cases}$
|
||||
|
||||
kde $\text{d}(v_{i})$ je stupeň vrcholu $v_{i}$.
|
||||
|
||||
Navíc platí, že matici $L' = M_{R}(\vec{G}) \cdot (M_{R}(\vec{G}))^T$ získáme vypuštěním posledního řádku a sloupce z matice $L$.
|
||||
|
||||
Kolik koster má úplný graf na $n$ vrcholech?
|
||||
- Úplný graf na $n \geq 2$ vrcholech má $n^{n-2}$ různých koster.
|
||||
|
||||
# Počet koster
|
||||
|
||||
**Cauchy-Binetova věta**: Nechť $B$ je matice o rozměrech $r\times s$, kde $r \leq s$. Potom platí, že
|
||||
|
||||
- $\displaystyle\det(B\cdot B^T) = \sum_{I} (\det B_{I})^2,$
|
||||
|
||||
kde $I$ probíhá všechny $r$-prvkové množiny sloupců a $B_I$ je čtvercová podmatice matice $B$, určená sloupci z množiny $I$.
|
||||
|
||||
**Věta**: Nechť $\vec{G}$ je slabě souvislý orientovaný graf bez smyček a $A = M_{R}(\vec{G})$. Potom **počet koster** grafu $\vec{G}$ **je roven determinantu** matice $A \cdot A^T$.
|
||||
Loading…
Reference in a new issue