1.3 KiB
Laplaceova matice
Nechť G je neorientovaný graf s vrcholy V = \{v_{1}, \dots, v_{n}\} a \vec{G} nějaké jeho orientace bez smyček a násobných hran. Dále položme
L = M(\vec{G}) \cdot (M(\vec{G}))^T \quad(tzv. Laplaceova matice grafu $G$).
Potom pro prvky čtvercové matice L = (l_{ij}) řádu n platí:
l_{ij} = \begin{cases} \text{d}(v_{i}) & \text{pokud } i=j, \\ -1 & \text{pokud } v_{i}v_{j} \in E(G), \\ 0 & \text{jinak,} \end{cases}
kde \text{d}(v_{i}) je stupeň vrcholu v_{i}.
Navíc platí, že matici L' = M_{R}(\vec{G}) \cdot (M_{R}(\vec{G}))^T získáme vypuštěním posledního řádku a sloupce z matice L.
Kolik koster má úplný graf na n vrcholech?
- Úplný graf na
n \geq 2vrcholech mán^{n-2}různých koster.
Počet koster
Cauchy-Binetova věta: Nechť B je matice o rozměrech r\times s, kde r \leq s. Potom platí, že
\displaystyle\det(B\cdot B^T) = \sum_{I} (\det B_{I})^2,
kde I probíhá všechny $r$-prvkové množiny sloupců a B_I je čtvercová podmatice matice B, určená sloupci z množiny I.
Věta: Nechť \vec{G} je slabě souvislý orientovaný graf bez smyček a A = M_{R}(\vec{G}). Potom počet koster grafu \vec{G} je roven determinantu matice A \cdot A^T.