FAV-ZCU/KMA DMA/Otázky ke zkoušce/14. Neorientované a orientované grafy (základní vlastnosti).md

Grafy

Graf G je dvojice G = (V, E), kde V je konečná množina a E \subseteq \left({V \atop 2}\right), přičemž

• \left({V \atop 2}\right) = \{\{x,y\}: x,y\in V\text{ a } x\neq y\}

je množina všech dvouprvkových množin (neuspořádaných dvojic) prvků množiny V.

• V(G) - prvky množiny V - vrcholy (uzly) grafu G
• E(G) - prvky množiny E - hrany grafu G

Vrcholy x,y \in V jsou sousední, pokud \{x,y\}\in E.

Podgraf

Mějme graf G, kde graf H je

• podgrafem G, pokud platí
  • V(H) \subseteq V(G), \quad E(H) \subseteq E(G)
  • je to graf G, od kterého odebereme hrany a vrcholy
• indukovaným podgrafem G, pokud platí
  • V(H) \subseteq V(G), \quad E(H) = E(G) \cap {V(H) \choose 2}
  • graf G s odebranými vrcholy a všemi hranamy k nim připojeným

Faktor grafu

Faktor grafu G je libovolný jeho podgraf F, pro který platí, že množina vrcholů V(G) = V(F) a množina hran E(G) \subseteq E(F). Faktor F je vlastní, je-li různý od grafu G.

Řekneme, že faktor F je sudý, má-li v něm každý vrchol sudý stupeň.

Rovnost grafů G_{1} = G_{2}

Grafy G_{1} = (V_{1}, E_{1}), G_{2} = (V_{2}, E_{2}) jsou si rovny, pokud V_{1} = V_{2}, E_{1} = E_{2}

Stupeň vrcholu

Stupeň vrcholu v grafu G je počet hran grafu G, které obsahují vrchol v. Značí se d_{G}(v).

Obvykle značíme n = \vert V(G) \vert a toto číslo nazýváme řádem grafu G (počet vrcholů), a m = \vert E(G) \vert nazýváme velikostí grafu G (počet hran).

• V grafu o n vrcholech je stupeň každého vrcholu nejvýše n-1.
• V každém grafu platí, že \sum_{v \in V(G)} d_{G}(v) = 2m.
  • Důsledek: V každém grafu je počet vrcholů lichého stupně sudý.

Neorientovaný graf

• hrany jsou definovány jako neuspořádané dvojice vrcholů
• odpovídá relaci na V, která je antireflexivní a symetrická

Speciální grafy

Biparitní (sudý) graf K_{m, n} má množinu vrcholů rozdělitelnou na dvě disjunktní množiny A, B tak, že žádné dva vrcholy ze stejné množiny nejsou spojeny hranou.

• V = A \cup B, A \cap B = \emptyset
• E \subseteq \{ \{a,b\} \mid a \in A, b \in B \}

Úplný graf na n vrcholech (značený $K_{n}$) obsahuje jako hrany všechny neuspořádané dvojice prvků [n], takže V(K_{n}) = [n], E(K_{n}) = \left({[n] \atop 2}\right).

Diskrétní graf D_{n} na n vrcholech nemá žádné hrany: V(D_n) = [n], E(D_{n}) = \emptyset.

TODO

Homomorfizmus grafu

Nechť G_{1} = (V_{1}, E_{1}) a G_{2} = (V_{2}, E_{2}) jsou grafy. Zobrazení f: V_{1} \to V_{2} je homomorfismus, pokud platí

1. (x, y) \in E_{1} \implies (f(x), f(y)) \in E_{2},
2. \{x, y\} \in E_{1} \implies \{f(x), f(y)\} \in E_{2}.

• každá hrana se zobrazí na hranu
• zkráceně píšeme f: G_{1} \to G_{2}

Poznámka: f: V_{1} \to V_{2} je homomorfizmus právě když e \in E_{1} \implies f^*(e) \in E_{2}.

Zobrazení indukované zobrazením

Nechť f: V_{1} \to V_{2} je homomorfizmus. Potom zobrazení f^*: \left({V_{1} \atop 2}\right) \to \left({V_{2} \atop 2}\right) definované vztahy

1. f^*((u, v)) = (f(u), f(v)),
2. f^*(\{u, v\}) = \{f(u), f(v)\}

nazveme zobrazení indukované zobrazením f.

Další morfizmy

Nechť G_{1} = (V_{1}, E_{1}) a G_{2} = (V_{2}, E_{2}) jsou grafy a zobrazení f: V_{1} \to V_{2} je homomorfismus. Potom se f nazývá

1. vrcholový monomorfizmus, je-li f prosté,
2. vrcholový epimorfizmus, je-li f na,
3. hranový monomorfizmus, je-li f^* prosté,
4. hranový epimorfizmus, je-li f^* na,
5. monomorfizmus, jsou-li f i f^* prostá,
6. epimorfizmus, jsou-li f i f^* na,
7. izomorfizmus, jsou-li f i f^* zároveň prostá i na.

(mono = prosté, epi = zobrazení na)

Grafy G_{1}, G_{2} jsou izomorfní, jestliže existuje izomorfizmus G_{1} na G_{2} a píšeme G_{1} \simeq G_{2}

Automorfismus grafu

Automorfismem grafu G nazveme izomorfizmus G \to G.

Izomorfismus může být triviální (identické zobrazení, $v_{i} \to v_{i}, \dots$) nebo netriviální. Složení izomorfismů je opět izomorfismus.

Množina automorfismů grafu G s operací skládání tvoří grupu a značí se \text{Aut}(G).

Orientované grafy

• Orientovaný graf je dvojice G = (V, E), kde V je množina vrcholů a E \subseteq V \times V je množina hran. (hrany jsou nyní prvky kartézského součinu, tedy uspořádané dvojice vrcholů)
• orientované grafy odpovídají binárním relacím
• graf může obsahovat dvojici protichůdných hran
• má upravené definice některých pojmů